Colles de physique-chimie MP

Mécanique (sup) Clothoïde
Dôme de Norton
Modèle de Bohr
Œuf dur
Équation de Tsiolkovsky
Frottements Verre et tonneau
Doigts et balai
Réf non gal Train et caisse
Spaghettification
Transferts thermiques Lait dans le café
Onde dans cavité Deux plans puis un troisième
Thermochimie Baleine
Éthanol
Électrocinétique (sup) EEPROM

Colles de physique-chimie TSI1


Petites énigmes







@pinkpencilmath

What do you all think? Anyone want to do the math for this?

♬ Western Music: Arizona Dreaming - Piero Piccioni
Réponse
82% des gens ont répondu que le lait avait moins de café, mais les deux verres contiennent la même concentration de l'autre liquide.
Soit $v$ le volume de la cuillère et $V$ le volume du verre.
La proportion de lait dans le café après l'ajout de la cuillère de lait est $\frac{v}{v+V}$.
On prend ensuite une cuillère de ce mélange qu'on ajoute au café. Le volume de café pur présent dans la cuillère est $\frac{V}{v+V}\times v$ (proportion de café dans la cuillère multipliée par le volume de la cuillère).
Comme le volume final dans le verre de lait est $V$, on se retrouve avec une proportion de café de $\frac{\frac{V}{v+V}\times v}{V}=\frac{v}{v+V}$. Même proportion que celle de lait dans le verre de café !
  • Une corde est tendue autour de la Terre. De quelle hauteur faut-il l’élever pour qu’elle reste tendue si on lui ajoute 1 m de longueur ?
    Et si elle entourait la Lune ?
    Ou une balle de ping-pong ?

Réponse
Soit $L$ la longueur de la corde.
Comme la corde est initialement tendue autour de la Terre : $L=2\pi R_T$
Avec le mètre de mou, on a alors :
$2\pi\left(R_T+h\right)=L+1$
$L+2\pi h = L + 1$
$h=\frac{1}{2\pi}$
La hauteur gagnée par rapport au rayon lorsqu'on donne $\pu{1 m}$ de mou à la corde ne dépend donc pas du rayon ! Quelle que soit la sphère ou le cercle, il faudra ajouter environ $\pu{16 cm}$.
  • Vous courez deux tours sur une piste d’athlétisme. Supposons que votre vitesse moyenne sur le premier tour soit $v_1$. À quelle vitesse moyenne $v_2$ devrez-vous courir le deuxième tour de piste pour que la vitesse moyenne sur l’ensemble des deux tours soit le double de la vitesse moyenne sur le premier tour ($2v_1$) ?
Réponse
En appelant $d$ la longueur du tour de piste et $\Delta t_i$ la durée mise pour faire le tour $i$. $v_1= \frac{d}{\Delta t_1}$
$v_2 = \frac{2d}{\Delta t_1 + \Delta t_2} = 2v_1 = 2\frac{d}{\Delta t_1}$
Cela implique $\Delta t_2 = 0$. Le deuxième tour devra être instantané !
  • Dans un pays imaginaire, les couples continuent à faire des enfants tant qu’ils n’ont pas eu de fille. Quelle est alors la proportion de fille dans ce pays ?
Réponse
50% !
En effet, au premier essai, il y a 50% de chance d'obtenir une fille. Si on s'arrêtait au premier enfant, il y aurait 50% de filles et 50% de garçons.
Les parents ayant obtenu un garçon recommencent. Ils ont à nouveau 50% de chance d'obtenir une fille. Parmi les enfants issus de la deuxième tentative, il y a donc 50% de filles et 50% de garçons.
Et on peut reproduire ce raisonnement pour chaque tentative...

On peut s'en assurer mathématiquement en calculant l'espérance du nombre de garçons de la population avant d'avoir une fille.
Probabilité d'avoir 0 garçon : $\frac 1 2$
Probabilité d'avoir 1 garçon : $\frac 1 2 \times \frac 1 2 = \left(\frac12\right)^2$
Probabilité d'avoir 2 garçons : $\left(\frac12\right)^3$
$\ldots$
Probabilité d'avoir $i$ garçons : $\left(\frac12\right)^{i+1}$
L'espérance du nombre de garçons vaut ainsi :
$S = \sum_{i=0}^\infty i\times\left(\frac12\right)^{i+1} $
On obtient une série arithmético-géométrique.
Le critère de d'Alembert nous assure de sa convergence absolue puisque $\lim_{i \to \infty} \left| \frac{u_{i+1}}{u_i} \right| = \lim_{i \to \infty} \left( \frac{i+1}{i} \times \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}<1$. On peut donc appliquer sans crainte la méthode d'Abel :
$\phantom{\frac12}S=1\times \left(\frac12\right)^2 + 2 \times \left(\frac12\right)^3 + 3 \times \left(\frac12\right)^4 + \ldots$
$\frac12 S=\phantom{1\times \left(\frac12\right)^2 +\,}1 \times \left(\frac12\right)^3 + 2 \times \left(\frac12\right)^4 + \ldots$
En soustrayant terme à terme, on obtient :
$S-\frac 12 S = \left(\frac12 \right)^2+\left(\frac12 \right)^3+\left(\frac12 \right)^4+\ldots=\sum_{i=2}^\infty \left(\frac12\right)^i=\left(\frac12 \right)^2 \times \frac{1}{1-\frac12}=\frac12$
Et finalement $S=1$.
Moralité, pour finir par obtenir une fille, l'espérance du nombre de garçons nécessaires est $1$. On retrouve la proportion finale de 50% de filles.