Clothoïde

Pour opérer un virage, on choisit d’abord de connecter deux sections de rails rectilignes (en orange) de directions différentes par un arc de cercle (bleu).

  1. Tracer l’évolution de l’accélération d’un point $\mathrm{M}$ suivant les rails à vitesse constante sur le trajet entre $\mathrm{I}$ et $\mathrm{F}$.

  2. Ce raccordement est-il une bonne idée ?

Plutôt qu’un arc de cercle, on va relier les deux portions rectilignes par des morceaux de clothoïdes1. Cette courbe a pour particularité que son rayon de courbure croit linéairement avec l’abscisse curviligne sur la courbe.
Supposons qu’un point $\mathrm{M}$ suive une clothoïde à vitesse constante $v=\pu{1,0 m*s-1}$. On peut alors paramétrer la courbe avec le temps $t$. Plaçons l’origine en $\mathrm{M}(t=0)$. Le rayon de courbure $R(t)$ en $\mathrm{M}(t)$ vaut alors $\frac{1}{R(t)}=kt$ où $k$ est une constante positive.

  1. Esquisser l’allure d’une clothoïde.

  2. Dans un repère de Frenet, écrire l’accélération tangentielle et normale du point M.

  3. Reprendre les questions 1 et 2 avec un tronçon de raccordement fait à partir de deux tronçons de clothoïdes symétriques par rapport à l’axe ($\Delta$). L’origine de la première clothoïde est en O et celle de la deuxième en B.

On veut maintenant tracer un tronçon de clothoïde et pour cela, il faut trouver son équation.

  1. En appelant $\theta$ l’angle que fait le vecteur tangent $\vec{u}_T(t)$ au point $\mathrm{M}(t)$ de la courbe avec l’axe $\mathrm{O}x$, montrer que : $$\theta(t)=\frac 12 k v t^2$$

  2. En déduire que l’équation de la clothoïde est donnée par : $$ \begin{cases} v\int_0^t \cos\left(\frac 12 kv u^2\right)\mathrm{d}u\\ v\int_0^t \sin\left(\frac 12 kv u^2\right)\mathrm{d}u \end{cases} $$

  3. En utilisant la méthode des rectangles, représenter graphiquement un tronçon de clothoïde pout $t$ allant de 0 à 5 s sur Python en complétant le code suivant.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def integrale(f,a,b):
    #################
    ## À COMPLÉTER ##
    #################

v = 1
k = 2
t = np.linspace(0,5,500)

def c(x):
    return v * np.cos(1/2 * k * v * x**2)

def s(x):
    return v * np.sin(1/2 * k * v * x**2)

def C(x):
    return integrale(c,0,x)

def S(x):
    return integrale(s,0,x)

plt.figure(figsize=(6, 6),dpi=150)
plt.plot(C(t),S(t))
plt.show()

Correction pour le code

  1. Clotho est la benjamine des trois Moires, celle qui tisse le fil de la vie (ça a donné l’anglais clothe) ; les deux autres tirent (Lachésis) et découpent (Atropos) dans la mythologie grecque antique. On appelle aussi la clothoïde spirale de Cornu ou d’Euler ou de Fresnel… ↩︎