Équation de Tsiolkovsky

the tyranny of the rocket equation

Une fusée éjecte du gaz pour décoller. On note le débit massique $D_m=-\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}>0$ où $m(t)$ est la masse de la fusée à l’instant $t$. On note $\vec{u}=-u\vec{e_z}$ la vitesse d’éjection des gaz par rapport à la fusée ($u>0$) et $\vec{v}(t)=v(t)\vec{e_z}$ la vitesse de la fusée par rapport au référentiel terrestre galiléen. On suppose que $D_m$, $u$ et $g$ (accélération de la pesanteur) sont constants.

  1. Montrer grâce au principe fondamental de la dynamique que :
    $$m(t)\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=D_m\,u-m(t)\,g$$

  2. À quelle condition la fusée décolle-t-elle ? Calculer dans ce cas $v(t)$ après le décollage.

  3. En négligeant $g$ dans l’équation de la qu.1 (et en prenant $v(0)=0$), exprimer la proportion en masse de carburant d’une fusée pour atteindre la vitesse de satellisation minimale.

  4. Les plus grandes vitesses d’éjection de gaz $u$ sont obtenues chimiquement pour un mélange stœchiométrique de dihydrogène et dioxygène. Exprimer cette vitesse en fonction du pouvoir calorifique PC du dihydrogène et le rendement $\eta$ d’une tuyère. A.N. : $\mathrm{PC}=\pu{120 MJ*kg-1}$ et $\eta= 75\%$.

  5. A.N. pour la question 3.

  6. En supposant une planète de la même densité que la Terre, à partir de quelle rayon ne pourrait-on plus quitter l’attraction de la planète (libération) avec une propulsion chimique sachant qu’on ne peut pas aller au delà d’une proportion de carburant de 96%.