Fronde
Dynamique
Une fronde est constituée par une pierre de masse $m$ reliée à un point fixe O par l’intermédiaire d’un fil de longueurs $\ell$ et de masse négligeable.
Depuis sa position d’équilibre, on donne à la masse une vitesse initiale $\vec{v_0}$ horizontale.
-
Écrire le PFD dans un repère polaire pour une position de la masse repérée par l’angle définie depuis la direction initiale du fil.
-
Intégrer la projection du PFD suivant en multipliant chaque membre par $\dot{\theta}$. En déduire une expression pour $\dot{\theta}^2$.
-
Injecter cette expression dans la composante radiale du PFD afin d’obtenir une expression pour la tension $T$ en fonction de $\theta$.
-
En déduire la vitesse minimale $v_0$ pour que la pierre parcours un cercle.
-
La vitesse initiale $v_0$ étant inférieure à la valeur limite trouvée ci-dessus, calculer l’angle que fait le fil avec la verticale lorsqu’il cesse d’être tendu ? Quel est le mouvement ultérieur de la masse m ?
Correction
Énergétique
On remplace la question 2 par :
- Utiliser le théorème de l’énergie cinétique pour exprimer $\dot{\theta}^2$ en fonction de $\theta$.
Correction
Le TEC s'écrit :$$ \displaystyle \begin{array}{rcll} E_{cB}-E_{cA}&=&\sum W_{AB}(\vec{F})&\text{en appelant A le point de départ et B le point repéré par }\theta\\\\ \frac{1}{2}m(\ell\dot{\theta})^2-\frac{1}{2}m\ell v_0^2 &=& W_{AB}(\vec{P}) &\text{car la tension de la corde ne travaille pas}\\\\ \frac{1}{2}m(\ell\dot{\theta})^2-\frac{1}{2}m v_0^2 &=& \int_A^B \overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{dOM} &\\\\ \frac{1}{2}m(\ell\dot{\theta})^2-\frac{1}{2}m v_0^2 &=& -\int_{z_A}^{z_B} mgdz &\text{avec un axe z vertical dirigé vers le haut}\\\\ \frac{1}{2}m(\ell\dot{\theta})^2-\frac{1}{2}m v_0^2 &=& -mg\ell(1-\cos (\theta)) &\\\\ \end{array} $$$$ \Rightarrow \dot{\theta}^2= \frac{v_0^2}{\ell^2}-\frac{2g}{\ell}\left(1-\cos(\theta)\right) $$
- Vérifier sur la simulation ci-dessous qu’on obtient bien les comportements attendus en modifiant la valeur à la ligne 22.