Le dôme de Norton est une expérience de pensée mise au point par John Norton en 2003. Elle a suscité un certain émoi dans la communauté scientifique en montrant qu’un comportement semblant non déterministe pouvait émerger des équations de Newton (elles, tout à fait déterministes).
On modélise le dôme comme une surface de révolution autour de l’axe vertical passant par son sommet. Pour décrire la forme de ce dôme, on introduit une coordonnée curviligne $s$, définie comme la distance (le long de la surface) entre le sommet et le point considéré. À chaque valeur de $s$ est associée une différence d’altitude $h(s)$ entre le sommet et ce point, de sorte que : $$h(s)=\frac{2k}{3g}s^{3/2}\quad\text{où } k=1$$
Pour étudier le mouvement d’une bille sur cette surface, on se limite à une coupe transverse (plan vertical). Le point matériel (la bille) se repère alors par son abscisse curviligne $s(t)$, et l’on associe à ce mouvement un vecteur unitaire $\vec{u}_\parallel$ tangent à la surface (et pointant vers l’aval de la pente) : $\overrightarrow{OM(t)}=s(t)\vec{u}_\parallel$.
$$s(t) = \begin{cases} \frac{1}{144} (\sqrt{k}t-T)^4 & \text{si } t \geq T, \\ 0 & \text{si } t < T. \end{cases}$$