Tutoriels calculette
sur l'utilisation de la partie tableur afin de calculer la moyenne d'une série de valeurs et son écart-type expérimental $\sigma_{exp}$.
| Activités | Écriture d'un résultat |
|---|---|
| TP | Temps de réaction |
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La vidéo suivante explique l’intérêt de répéter les mesures.
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La vidéo suivante permet d’en savoir plus sur le lien entre incertitude-type et niveau de confiance : quelle est la probabilité que la valeur de référence soit dans l’intervalle $[x-\mathrm{u},x+\mathrm{u}]$ ?
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La vidéo suivante permet d’en savoir plus sur la formule de l’écart-type expérimental (en particulier l’étrange présence du $n-1$).
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Pourquoi faut-il diviser la demi-étendue par $\sqrt{3}$ pour obtenir l’incertitude-type lors d’une évaluation de type B ?
On modélise notre mesure par une variable aléatoire continue $X$ répartie uniformément sur $[\mu -a,\mu + a]$ où $\mu = E(X)$ est la valeur centrale (la valeur lue sur l'appareil).
Il faut définir sa fonction de densité de probabilité $f(x)$.
Si la largeur est $2a$, alors la hauteur (la constante) doit être $\frac{1}{2a}$ pour que l'aire soit $2a \times \frac{1}{2a} = 1$.
- Puisque la probabilité est uniforme, $f(x)$ est une constante sur l'intervalle $[-a, a]$ et vaut $0$ en dehors.
- La somme de toutes les probabilités doit valoir $1$.
Graphiquement, l'aire sous la courbe (un rectangle de largeur $2a$ et de hauteur constante) doit être égale à $1$.
On a donc notre fonction de densité : $$f(x) = \frac{1}{2a} \quad \text{pour } x \in [-a, a]$$ $$f(x) = 0 \quad \text{ailleurs}$$ L'incertitude-type $u(x)$ que l'on cherche correspond mathématiquement à l'écart-type $\sigma$ de cette distribution.
Et l'écart-type est la racine carrée de la variance $V(X)$.
On repart de la définition générale de la variance :
$$V(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - E(X))^2 f(x) dx$$ Ce qui donne ici :
$$ \begin{aligned} V(X) &= \int_{\mu - a}^{\mu + a} (x - \mu)^2 \left(\frac{1}{2a}\right) dx\\\\ &=\frac{1}{2a} \int_{\mu - a}^{\mu + a} (x - \mu)^2 dx \end{aligned} $$ Or, la primitive de $u'u^n$ est $\frac{u^{n+1}}{n+1}$.
Ici, en posant $u(x) = x - \mu$, on a $u'(x) = 1$. L'expression sous l'intégrale est donc exactement de la forme $u'u^2$.
La primitive de $(x - \mu)^2$ est donc $\frac{(x - \mu)^3}{3}$.
On évalue :
$$ \begin{aligned} V(X) &= \frac{1}{2a} \left[ \frac{(x - \mu)^3}{3} \right]_{\mu - a}^{\mu + a}\\\\ &= \frac{1}{2a} \left( \frac{((\mu + a) - \mu)^3}{3} - \frac{((\mu - a) - \mu)^3}{3} \right)\\\\ &= \frac{1}{2a} \left( \frac{a^3}{3} - \frac{(-a)^3}{3} \right)\\\\ &= \frac{a^2}{3} \end{aligned} $$ D'où :
$$u = \sqrt{V(X)} = \frac{a}{\sqrt{3}}$$