AP - Thermodynamique

La respiration

La respiration permet d’illustrer le premier principe de la thermodynamique sur un exemple qui nous est tous assez familier (j’espère).

On va supposer l’air comme étant un gaz parfait diatomique. Dans ces conditions, l’énergie interne de $n$ moles d’air vaut $U=\frac{5}{2}nRT$.

On ne considère dans la suite que les variations relatives du volume des poumons $\Rightarrow$ le volume $V$ avant inspiration (= après expiration) est pris comme égal à zéro.
De même, seules les pressions relatives nous intéressent $\Rightarrow$ la pression $P$ avant inspiration (= après expiration) est prise comme égale à zéro.

Une modélisation de $V(P)$ à partir de mesures expérimentales (réalisées grâce à un cathéter œsophagien pour $P$ et un pléthysmographe pour $V$) donne :

  • pour l’inspiration : $V=A_I\left(1-e^{-k_IP}\right)$
  • pour l’expiration : $V=A_E\left(1-e^{-k_EP}\right)$

Avec $A_I=3,57\text{ L}$, $k_I=0,964.10^{-3}\text{ Pa}^{-1}$, $A_E=3,35\text{ L}$, $k_E=1,644.10^{-3}\text{ Pa}^{-1}$.

$A$ est la capacité pulmonaire maximale et $k$ est un coefficient de compressibilité.
$A_E<A_I$ car en fin d’expiration, des alvéoles se referment, s’affaissent, leurs parois se collant sous l’action de la tension superficielle (et ce malgré la production de surfactants par les poumons équivalents à ceux qu’on trouve dans le savon pour abaisser cette énergie de surface… Sans eux, c’est tout le poumon qui s’affaisserait). Et c’est aussi pourquoi $k_I>k_E$ ; à l’inspiration, il faut vaincre la tension de surface pour recruter à nouveau les alvéoles refermées.

  1. Déterminer numériquement les valeurs finales de volume $V_f$ et de pression $P_f$ en fin d’inspiration / début d’expiration (on est sensé obtenir $V_f = 3,31\text{ L}$ et $P_f = 2,73\text{ kPa}$).

  2. Reproduire la figure ci-dessus représentant $P(V)$ à l’inspiration et à l’expiration en utilisant la librairie matplotlib.

  3. Lorsque la respiration n’est pas forcée, les muscles respiratoires ne travaillent que pendant l’inspiration (l’élasticité des poumons suffit pour l’expiration). Calculer ce travail numériquement.
    Et analytiquement, montrer qu’on a $W= -A_IP_f+P_fV_f+\frac{V_f}{k_I}$ (aide : on pourra utiliser $dV=A_Ik_Ie^{-k_IP}dP$ puis intégrer par partie).
    Quelle proportion du métabolisme d’un humain moyen (≈ 10 MJ par jour) la respiration représente-t-elle ?

  4. Que vaut le transfert thermique $Q_I$ fourni à l’air lors d’une inspiration ?

  5. Calculer le transfert thermique $Q$ lors d’un cycle respiratoire complet puis la puissance thermique libérée. Commenter son signe. Comparer à la puissance thermique perdue par un corps humain dans les conditions de vie courante, au repos, de l’ordre de 100 W.