La respiration

La respiration permet d’illustrer le premier principe de la thermodynamique sur un exemple qui nous est tous assez familier (j’espère).

On va supposer l’air comme étant un gaz parfait diatomique. Dans ces conditions, l’énergie interne de $n$ moles d’air vaut $U=\frac{5}{2}nRT$.

On ne considère dans la suite que les variations relatives du volume des poumons $\Rightarrow$ le volume $V$ avant inspiration (= après expiration) est pris comme égal à zéro.
De même, seules les pressions relatives nous intéressent $\Rightarrow$ la pression $P$ avant inspiration (= après expiration) est prise comme égale à zéro.

Une modélisation de $V(P)$ à partir de mesures expérimentales (réalisées grâce à un cathéter œsophagien pour $P$ et un pléthysmographe pour $V$) donne :

  • pour l’inspiration : $V=A_I\left(1-e^{-k_IP}\right)$
  • pour l’expiration : $V=A_E\left(1-e^{-k_EP}\right)$

Avec $A_I=3,57\text{ L}$, $k_I=0,964.10^{-3}\text{ Pa}^{-1}$, $A_E=3,35\text{ L}$, $k_E=1,644.10^{-3}\text{ Pa}^{-1}$.

$A$ est la capacité pulmonaire maximale et $k$ est un coefficient de compressibilité.
$A_E<A_I$ car en fin d’expiration, des alvéoles se referment, s’affaissent, leurs parois se collant sous l’action de la tension superficielle (et ce malgré la production de surfactants par les poumons équivalents à ceux qu’on trouve dans le savon pour abaisser cette énergie de surface… Sans eux, c’est tout le poumon qui s’affaisserait). Et c’est aussi pourquoi $k_I>k_E$ ; à l’inspiration, il faut vaincre la tension de surface pour recruter à nouveau les alvéoles refermées.

  1. Déterminer la fonctions $P_I(V)$ à l’inspiration et la fonction $P_E(V)$ à l’expiration.
Correction (cliquer pour afficher)
$P_I(V)= \frac{1}{k_I}\ln\left(\frac{A_I}{A_I-V}\right)$
$P_F(V)= \frac{1}{k_E}\ln\left(\frac{A_E}{A_E-V}\right)$
  1. En utilisant la librairie matplotlib, tracer l’évolution de $P_I(V)$ et $P_E(V)$ pour $V$ allant de $3.3$ à $V_{max}$ (que vaut $V_{max}$ ?).
    Il faudra compléter le code sur ce notebook (une connexion à un compte google est nécessaire).
Correction (cliquer pour afficher) 
import matplotlib.pyplot as plt


A_I, A_E = 3.57, 3.35
k_I, k_E = 0.964, 1.644


def P_I(V): return 1/k_I*(np.log(A_I/(A_I-V)))
def P_E(V): return 1/k_E*(np.log(A_E/(A_E-V)))


Vmax = min(A_I,A_E)
V = np.linspace(3.3,Vmax-1E-5,100)


plt.figure(figsize=(10,8),dpi=150)
plt.plot(V,P_I(V),c = "red", label="inspiration")
plt.plot(V,P_E(V),c = "blue",label="expiration")
plt.xlabel("Volume V (L)")
plt.ylabel("Pression P (kPa)")
plt.legend()
plt.show()
  1. Déterminer numériquement les valeurs finales de volume $V_f$ et de pression $P_f$ en fin d’inspiration / début d’expiration en utilisant la fonction brentq de la librairie scipy.optimize dont la signature est donnée ci-dessous.
    S’inspirer du tracé obtenu à la question 2. pour déterminer des valeurs de a et b adéquates.
def brentq(func, a, b):
    """
    brentq(func, a, b) -> float
    ---------------------------
    Trouve une racine de l’équation func(x) = 0 dans l’intervalle fermé
    [a, b] grâce à l’algorithme de Brent (combinaison bisection, sécante et
    interpolation quadratique).

    Conditions préalables
    ---------------------
    - func(a) et func(b) doivent avoir des signes opposés strictement :
      func(a) * func(b) < 0.  
    - L’intervalle est supposé borné et fini.

    Paramètres
    ----------
    func : callable
        Fonction continue sur [a, b] à annuler.
        Signature attendue : y = func(x) (scalaire en entrée et en sortie).
    a, b : float
        Bornes gauche (`a`) et droite (`b`) de l’intervalle de recherche
        contenant exactement une racine (changement de signe garanti).

    Retour
    ------
    xr : float
        Approximation de la racine telle que  
        abs(func(xr)) < 2 × 10⁻¹² (tolérance par défaut interne).
Correction (cliquer pour afficher) 
from scipy.optimize import brentq


def diff(V): return P_I(V)-P_E(V)


V_f = brentq(diff,3.30,3.33)
P_f = P_I(V_f)
print(f"V_f = {V_f:.2f} L")
print(f"P_f = {P_f:.2f} kPa")
V_f = 3.31 L
P_f = 2.73 kPa
  1. Lorsque la respiration n’est pas forcée, les muscles respiratoires ne travaillent que pendant l’inspiration (l’élasticité des poumons suffit pour l’expiration). Calculer ce travail numériquement grâce à la fonction d’intégration quad de la librairie scipy.integrate dont la signature est donnée ci-dessous.
def quad(func, a, b):
    """
    quad(func, a, b) -> (float, float)
    ----------------------------------
    Calcule l’intégrale définie de func(x) sur l’intervalle [a, b] au moyen
    de la méthode adaptative de quadrature de Gauss–Kronrod (algorithme
    QAG de QUADPACK).

    Usage minimal (sans options) :
        >>> I, err = quad(f, 0, 1)

    Paramètres
    ----------
    func : callable
        Fonction réelle de variable réelle.  
        Signature attendue : y = func(x), où x est un flottant et y également.
    a, b : float
        Bornes d’intégration avec a < b.

    Retour
    ------
    I : float
        Approximation de l’intégrale ∫ₐᵇ func(x) dx.
    err : float
        Estimation absolue de l’erreur sur `I`
        (≈ précision effective de la valeur retournée).
Correction (cliquer pour afficher) 
from scipy.integrate import quad
W = quad(P_I, 0, V_f)[0]
print(f"W = {W:.2f} J")
W = 2.73 J
  1. Montrer qu’on a $W= -A_IP_f+P_fV_f+\frac{1}{k_I}V_f$
    aide : on pourra utiliser $dV=A_Ik_Ie^{-k_IP}dP$ puis intégrer par partie.
    Calculer le résultat à l’aide de Python.
    Quelle proportion du métabolisme d’un humain moyen (≈ 10 MJ par jour) la respiration représente-t-elle ?
Correction (cliquer pour afficher)
$$ \begin{aligned} W&=-W_I &\text{le travail musculaire s'oppose au travail des forces de pression} \\ &=-\int_0^{V_f}-PdV \\ & =\int_0^{P_f}PA_I k_I e^{-k_I P}dP &\text{en utilisant }dV=A_Ik_Ie^{-k_IP}dP \\ & =A_Ik_I\left[\frac{-P}{k_I}e^{-k_I P}\right]_0^{P_f}-A_Ik_I\int_0^{P_f}\frac{-1}{k_I} e^{-k_I P}dP &\text{intégration par partie} \\ & =A_Ik_I\left[\frac{-P}{k_I}e^{-k_I P}\right]_0^{P_f}-A_Ik_I\left[\frac{1}{k_I^2}e^{-k_I P}\right]_0^{P_f} & \\ & =-A_I P_f e^{-k_I P_f}-\frac{A_I}{k_I}e^{-k_I P_f}+\frac{A_I}{k_I} \\ & =-A_IP_f+P_fV_f+\frac{V_f}{k_I}&\text{car }A_Ie^{-k_IP_f}=A_I-V_f \end{aligned} $$ 
W = -A_I*P_f + P_f*V_f + V_f/k_I
print(f"W = {W:.2f} J")
prop = 15*24*60*W/10e6*100 # pour 15 inspirations par minute
print(f"proportion du métabolisme : {prop:.2f} %")
W = 2.73 J
proportion du métabolisme : 0.59 %
  1. Montrer que le transfert thermique $Q_I$ fourni à l’air lors d’une inspiration peut s’écrire $Q_I=\frac{7}{2}P_fV_f-A_I P_f +\frac{1}{k_I}V_f$.
    Donner sa valeur.
Correction (cliquer pour afficher)
$\Delta U_I = W_I + Q_I \Rightarrow Q_I = \Delta U_I - W_I$
$\begin{aligned} Q_I &= \frac{5}{2}(P_fV_f - 0)-\int_0^{V_f} -P dV\\ &= \frac{5}{2}(P_fV_f - 0)-A_IP_f+P_fV_f+\frac{V_f}{k_I}\\ &=\frac{7}{2}P_fV_f-A_I P_f +\frac{V_f}{k_I} \end{aligned}$ 
Q_I = 7/2*P_f*V_f - A_I*P_f+V_f/k_I # calcul explicite
print(f"Q_I = {Q_I:.1f} J") 
Q_I = 5/2*P_f*V_f + W # calcul implicite
print(f"Q_I = {Q_I:.1f} J")

Q_I = 25.3 J
Q_I = 25.3 J

  1. Calculer numériquement le transfert thermique $Q$ lors d’un cycle respiratoire complet puis la puissance thermique libérée. Commenter son signe. Comparer à la puissance thermique perdue par un corps humain dans les conditions de vie courante, au repos, de l’ordre de 100 W.
Correction (cliquer pour afficher) 
V = np.linspace(0,Vf,100)
plt.figure(figsize=(9,6),dpi=150)
plt.plot(V,P_I(V),c = "red", label="inspiration")
plt.plot(V,P_E(V),c = "blue",label="expiration")
plt.xlabel("Volume V (L)")
plt.ylabel("Pression P (kPa)")
plt.legend()
plt.fill_between(V, P_I(V), P_E(V), color = "yellow", alpha = 0.2)
plt.show()


Q = quad(diff, 0, V_f)[0]
print(f"Q = {Q:.3f} J")
Plib = Q/4 # en prenant 4 s pour un cycle respiratoire (15 respirations par minute)
print(f"Plib = {Plib:.3f} W")
Q = 0.821 J
Plib = 0.205 W

Sur le cycle, on a $W<0$ et $Q>0$, l’air reçoit de la chaleur.
Seule une toute petite partie des 100 W perdue par le corps humain sert à chauffer l’air.