L’intensité du courant
Définition
L'intensité $i(t)$ d'un courant électrique en un point d'un circuit est le débit de charges électriques en ce point, à l'instant $t$.
En régime permanent
$$i = \frac{Q}{\Delta t}$$
En régime variable
$$i(t) = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$$
Remarque
C'est l'analogue du débit volumique d'un fluide, $D_V = \dfrac{V}{\Delta t}$ : l'intensité compte des charges, comme le débit compte des litres. En régime permanent, l'intensité ne dépend pas du temps ; en régime variable, il faut dériver la charge.
Le comportement capacitif
Définition
On parle de comportement capacitif lorsqu'il y a accumulation de charges de signes opposés sur des surfaces en regard.
Pour aller plus loinComment un nuage d'orage se charge-t-il ?
- Les collisions. Dans le nuage, entre 0 °C et −40 °C, de gros grains de grésil (lourds et poreux) heurtent de petits cristaux de glace, en présence d'eau surfondue (restée liquide malgré une température négative). À chaque collision, des charges sont transférées : le grésil se charge négativement, les cristaux positivement.
- Le tri par la masse. Les courants ascendants, qui peuvent atteindre 100 km/h, emportent les petits cristaux, légers et positifs, vers le sommet du nuage (l'enclume). Le grésil, lourd et négatif, s'accumule dans la partie moyenne et basse.
- Le résultat. Une zone positive au sommet, une zone négative à la base : des charges opposées en regard. Le champ électrique atteint plusieurs dizaines de kilovolts par mètre, jusqu'au claquage de l'air : l'éclair.
Pour aller plus loinLa catastrophe du Hindenburg
Le 6 mai 1937, près de New York, un câble déchire l'enveloppe d'un des réservoirs du dirigeable LZ 129 Hindenburg : du dihydrogène fuit et se mélange à l'air. Au moment de l'amarrage, les cordes larguées au sol se mouillent sous la pluie et deviennent conductrices. L'armature métallique du dirigeable est alors reliée à la terre, et des charges opposées s'accumulent sur deux surfaces en regard : l'armature et l'enveloppe extérieure, bien moins conductrice. La tension entre les deux provoque une étincelle, qui enflamme le mélange de dihydrogène et d'air.
Le condensateur
Question
À quoi peuvent bien servir ces composants ?
RéponseVoir la réponse
Ce sont des sortes de châteaux d'eau à charges électriques :
- ils peuvent délivrer une charge électrique en un court laps de temps : défibrillateur, flash d'appareil photo, supercondensateurs des autobus électriques… ;
- ils peuvent servir d'amortisseurs pour les variations de tension, afin de protéger des composants, ou pour filtrer des signaux ;
- comme leurs caractéristiques dépendent de leur géométrie, ils peuvent servir de capteurs : mesure d'épaisseur, de niveau de liquide, d'humidité, détection de présence, microphones, écrans tactiles…
Animation interactive
Charger, décharger : deux DEL révèlent le sens du courant
Valeurs de l'exemple : E = 6 V, R1 = 470 Ω, R2 = 1 kΩ, C = 2 200 µF. Une DEL ne laisse passer le courant que dans un sens, et seulement si la tension à ses bornes dépasse sa tension de seuil (environ 2,1 V pour la verte, 1,8 V pour la rouge).
Pour aller plus loinÀ quoi sert le conducteur ohmique R2 ?
R2, en dérivation avec les deux DEL, permet une charge et une décharge complètes du condensateur.
- Une DEL ne conduit le courant que si la tension à ses bornes dépasse sa tension de seuil.
- Sans R2 : dès que la tension aux bornes de la DEL redescend sous ce seuil, le courant s'arrête. Le condensateur ne parviendrait jamais à la tension finale E (ni à 0 lors de la décharge).
- Avec R2 : le courant dispose d'un chemin permanent. Même quand les DEL sont éteintes, il continue de circuler à travers R2, jusqu'à ce que $u_C = E$ (charge) ou $u_C = 0$ (décharge). C'est ce que montre l'animation.
Le modèle du condensateur
Définition
Un condensateur est un dipôle électrique constitué de deux surfaces conductrices en regard, les armatures, séparées par un matériau isolant, le diélectrique.
Le symbole électrique du condensateur.
À retenir
Le condensateur a un comportement capacitif : lorsqu'il est soumis à une tension non nulle, les charges $q_A$ et $q_B$ portées par ses deux armatures A et B sont opposées : $q_A = -q_B$.
À retenir
La charge $q$ portée par l'armature A est proportionnelle à la tension $u_C = u_{AB}$ entre ses bornes. Le coefficient de proportionnalité est la capacité $C$ du condensateur.
Capacité d'un condensateur
$$q = C\times u_C$$
Convention
La flèche de la tension $u_C$ pointe vers l'armature qui porte la charge $q$. Ainsi, $u_C$ et $q$ ont le même signe.
Ordres de grandeur
Hormis les supercondensateurs, qui peuvent atteindre plusieurs centaines, voire milliers de farads, les capacités s'étalent typiquement de la dizaine de picofarads ($\pu{1 pF} = \pu{E-12 F}$) à la dizaine de millifarads.
Pour aller plus loinLa tension d'une machine de Wimshurst
Avec ses bouteilles de Leyde, une machine de Wimshurst a une capacité de 50 à 100 pF. Quand l'étincelle jaillit entre des boules distantes de 1 cm, la charge accumulée vaut environ 2 µC. On en déduit la tension :
$u = \dfrac{q}{C} = \dfrac{\pu{2E-6 C}}{\pu{50E-12 F}} = \pu{4E4 V}$, soit 40 kV !
Entraînement
Capacité, charge, constante de temps
Le circuit RC série
Un conducteur ohmique de résistance $R$ et un condensateur de capacité $C$ sont branchés en série. Un interrupteur à deux positions permet :
- en position 1, de charger le condensateur sous la tension $E$ de la source ;
- en position 2, de le décharger à travers le conducteur ohmique.
La charge
On charge un condensateur de capacité $C$, initialement déchargé, à travers un conducteur ohmique de résistance $R$, sous une tension $E$. À l'instant initial $t = 0$, on ferme l'interrupteur K.
Démonstration : l'équation différentielle
Loi des mailles : ${\color{#16A34A}{E}} = {\color{#CA8A04}{u_R(t)}} + \color{#DB2777}{u_C(t)}$.
Loi d'Ohm, aux bornes du conducteur ohmique : ${\color{#CA8A04}{u_R(t)}} = R\times\color{#E11D48}{i(t)}$.
Définition de l'intensité : ${\color{#E11D48}{i(t)}} = \color{#E11D48}{\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}}$. Et comme $q(t) = C\times u_C(t)$, avec $C$ constante : ${\color{#E11D48}{\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}}} = \color{#E11D48}{C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}}$.
On réinjecte dans la loi des mailles : $R\,{\color{#E11D48}{C\,\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}}} + u_C = E$.
Après division par $RC$ :
$$\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \dfrac{1}{RC}\,u_C(t) = \dfrac{E}{RC}$$C'est une équation différentielle du premier ordre, à coefficients constants, avec un second membre constant.
Démonstration : la solution
La solution générale s'écrit $u_C(t) = A\,\mathrm{e}^{-t/\tau} + B$, d'où :
$$\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = -\dfrac{A}{\tau}\,\mathrm{e}^{-t/\tau}$$On l'injecte dans l'équation différentielle : $-\dfrac{A}{\tau}\,\mathrm{e}^{-t/\tau} + \dfrac{1}{RC}\left(A\,\mathrm{e}^{-t/\tau} + B\right) = \dfrac{E}{RC}$, soit
$${\color{#E11D48}{\mathrm{e}^{-t/\tau}}}\left({\color{#2563EB}{-\dfrac{A}{\tau} + \dfrac{A}{RC}}}\right) = \dfrac{1}{RC}\left({\color{#16A34A}{E - B}}\right)$$Le membre de gauche dépend du temps, celui de droite est constant : l'égalité ne peut être vraie à tout instant $t \geq 0$ que si les deux membres sont nuls. D'où $\color{#2563EB}{\tau = RC}$ et $\color{#16A34A}{B = E}$ :
$$u_C(t) = A\,\mathrm{e}^{-t/RC} + E$$Condition initiale : le condensateur est initialement déchargé. On a donc :
$$ \begin{array}{lrl} \phantom{\Leftrightarrow}& u_C(0) &=& 0\\ \Leftrightarrow & A\,\mathrm{e}^0 + E &=& 0\\ \Leftrightarrow& A+E &=& 0\\ \Leftrightarrow& A &=& -E \end{array} $$
Charge d'un condensateur
$$u_C(t) = E\left(1 - \mathrm{e}^{-t/\tau}\right) \quad\text{avec}\quad \tau = RC$$
Pour aller plus loinUne autre méthode : passer par le régime permanent
On repart de $u_C(t) = A\,\mathrm{e}^{-t/\tau} + B$, et on se place en $t \to \infty$ : c'est le régime permanent.
L'intensité y est nulle : le condensateur, entièrement chargé, se comporte comme un interrupteur ouvert. Alors $u_R = R\,i = 0$, et la loi des mailles donne $u_C(t\to\infty) = E$.
Or $\displaystyle\lim_{t\to\infty}\mathrm{e}^{-t/\tau} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{t\to\infty} u_C(t) = B$. D'où $B = E$.
La condition initiale $u_C(0) = 0$ donne $A = -E$.
Enfin, on injecte $u_C(t) = -E\,\mathrm{e}^{-t/\tau} + E$ dans l'équation différentielle : $\mathrm{e}^{-t/\tau}\left(\dfrac{1}{\tau} - \dfrac{1}{RC}\right) = 0$. Un produit n'est nul que si l'un de ses facteurs est nul, et $\mathrm{e}^{-t/\tau} > 0$ : donc $\tau = RC$.
Au bac
Le plus souvent, la démarche est guidée :
on demande d'établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C$, souvent en proposant la forme $\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \dfrac{u_C}{\tau} = \dfrac{E}{\tau}$, et d'exprimer $\tau$ en fonction de $R$ et de $C$ ;
on demande ensuite de vérifier que $u_C(t) = E\left(1 - \mathrm{e}^{-t/\tau}\right)$ est solution : il suffit de l'injecter dans l'équation, et de vérifier que ses deux membres sont égaux.
Exemple de cet enchaînement : « Défibrillateur cardiaque ». Mais des démonstrations complètes sont parfois demandées : « La physique au service du vigneron ».
La décharge
On décharge un condensateur de capacité $C$, initialement chargé sous la tension $E$, à travers un conducteur ohmique de résistance $R$. À l'instant $t = 0$, on ferme l'interrupteur.
Démonstration
$\begin{cases} \text{loi des mailles :} & u_C(t) + u_R(t) = \color{#CA8A04}{0}\\ \text{loi d'Ohm :} & u_R(t) = R\times i(t)\\ \text{intensité :} & i(t) = \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\\ \text{capacité :} & q(t) = C\times u_C(t) \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \dfrac{1}{RC}\,u_C = \color{#CA8A04}{0}$
On obtient à nouveau une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants, mais homogène (sans second membre). Sa solution est de la forme $u_C(t) = A\,\mathrm{e}^{-t/\tau}$. En l'injectant dans l'équation, on obtient $\tau = RC$ ; et la condition initiale $u_C(0) = E$ donne $A = E$.
Décharge d'un condensateur
$$u_C(t) = E\,\mathrm{e}^{-t/\tau} \quad\text{avec}\quad \tau = RC$$
Attention au sens de i
Pour pouvoir écrire $i = \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$, la flèche de $i$ doit être orientée vers l'armature qui porte la charge $q$. Et pour écrire $u_R = R\times i$, la flèche de $u_R$ doit être opposée à celle de $i$ (convention récepteur). Avec ces orientations, $i$ est négative pendant la décharge : $q$ diminue, et le courant réel circule dans le sens opposé à la flèche.
Simulation
Animation interactive
Charge et décharge d'un condensateur
L'animation se déroule au rythme d'une constante de temps par seconde, quelles que soient les valeurs de R et de C. Les signes + et − sur les armatures sont proportionnels à la charge $q = C\,u_C$. L'intensité est comptée positivement vers l'armature du haut : elle est négative pendant la décharge.
Le temps caractéristique
À retenir
$\tau = RC$ a bien la dimension d'un temps : dans l'équation différentielle $\dfrac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \dfrac{u_C}{\tau} = \dfrac{E}{\tau}$, chaque terme est une tension divisée par un temps. Il caractérise la durée du régime transitoire, la partie de l'évolution où les variations sont grandes.
Déterminer τ graphiquement
- Par la tangente à l'origine : $\tau$ est l'abscisse du point d'intersection de la tangente à l'origine et de l'asymptote horizontale ($u_C = E$ pour la charge, $u_C = 0$ pour la décharge).
- Par la valeur à t = τ : $\tau$ est l'instant où $u_C$ atteint 63 % de $E$ (charge), ou descend à 37 % de $E$ (décharge).
Au bout de $5\tau$, on approche le régime permanent ($E$ pour la charge, 0 pour la décharge) à mieux de 99 % : c'est un critère de séparation entre régime transitoire et régime permanent.
Entraînement
Lire la constante de temps sur une courbe