Rappel : notation symbolique d'un noyau
$\ce{^{\color{#2A6BC4}A}_{\color{#E11D48}Z} X}$
Remarques
Nombre de neutrons du noyau
$${\color{#FDE68A}N} = {\color{#93C5FD}A}-{\color{#FCA5A5}Z}$$
Définition
On appelle isotopes deux noyaux ayant le même nombre de protons $Z$ mais un nombre différent de neutrons $N$ (ou, ce qui revient au même, un nombre différent de nucléons $A$).
On désigne généralement un isotope par son nom chimique suivi de son nombre $A$ : le carbone 14 ou l'uranium 235, par exemple.
On peut ranger tous les isotopes connus dans un diagramme $(N,Z)$, avec $Z$ en abscisse et $N$ en ordonnée.
Animation interactive
Le diagramme (N, Z)
Environ 1 250 noyaux (les stables et les radioactifs répertoriés par la base de données de la Commission internationale de protection radiologique, CIPR 107). Cliquez sur un noyau : le diagramme zoome sur sa chaîne de désintégration, jusqu'à un noyau stable (en suivant le mode de désintégration principal ; les états excités métastables, comme le protactinium 234m de la chaîne de l'uranium 238, ne sont pas représentés).
À retenir
On constate que les noyaux stables sont très minoritaires et se concentrent dans une vallée de la stabilité (autour de $N=Z$) pour les petits noyaux, puis se décalent vers $N>Z$.
À partir du bismuth ($Z=83$), il n'y a plus d'isotopes stables.
Le bismuth 209 a longtemps été considéré comme stable : sa radioactivité α n'a été détectée qu'en 2003, avec une demi-vie d'environ $2\times10^{19}$ ans, un milliard de fois l'âge de l'Univers.
Définition
Les noyaux instables subissent des désintégrations radioactives mettant en jeu une ou plusieurs transformation(s) nucléaire(s) du noyau visant à le rapprocher de la vallée de la stabilité.
Lois de conservation
Lors d'une transformation nucléaire, il y a :
Exemple
Lorsqu'un noyau d'uranium 235 absorbe un neutron, il peut fissionner en deux noyaux fils dont l'un est le strontium 94, tout en émettant 2 neutrons. Déterminer l'autre noyau fils.
${}^{\square}_{\square}\mathrm{n} + \ce{^\square_\square U} \longrightarrow \ce{^\square_\square Sr} + {}^{\square}_{\square}\mathrm{?} + 2\,{}^{\square}_{\square}\mathrm{n}$
${}^{1}_{0}\mathrm{n} + \ce{^{235}_{92}U} \longrightarrow \ce{^{94}_{38}Sr} + {}^{A}_{Z}\mathrm{X} + 2\,{}^{1}_{0}\mathrm{n}$
Conservation du nombre de nucléons : $1 + 235 = 94 + A + 2$, donc $A = 140$.
Conservation de la charge : $0 + 92 = 38 + Z + 0$, donc $Z = 54$ : c'est le xénon.
${}^{1}_{0}\mathrm{n} + \ce{^{235}_{92}U} \longrightarrow \ce{^{94}_{38}Sr} + \ce{^{140}_{54}Xe} + 2\,{}^{1}_{0}\mathrm{n}$
Lors d'une désintégration radioactive, différentes transformations nucléaires peuvent permettre de rapprocher le noyau fils de la stabilité. Historiquement, on a classé ces différents types de radioactivité en fonction du rayonnement émis : α, β−, β+ et γ.
Radioactivité alpha $(\alpha)$
$\ce{^{238}_{92} U -> ^{234}_{90} Th} + {\color{#D97706}\alpha}$
Par conservation de la charge et du nombre de nucléons, déterminer la nature des rayons alpha.
Radioactivité alpha $(\alpha)$
La radioactivité alpha correspond à l'émission de noyaux d'hélium $\ce{^4_2He}$ (particule α). Elle concerne les noyaux lourds.
Radioactivité bêta moins $(\beta^-)$
$\ce{^{14}_{6} C -> ^{14}_{7} N} + {\color{#2A6BC4}\beta^-} + \ce{^0_0\bar{\nu}_e}$
Par conservation de la charge et du nombre de nucléons, déterminer la nature des rayons $\beta^-$.
Radioactivité bêta moins $(\beta^-)$
La radioactivité $\beta^-$ correspond à la transformation d'un neutron en proton en émettant un électron $\ce{^{\;\;0}_{-1}e}$ (particule $\beta^-$), accompagné d'un antineutrino.
Elle concerne des noyaux comportant trop de neutrons.
Radioactivité bêta plus $(\beta^+)$
$\ce{^{18}_{9} F -> ^{18}_{8} O} + {\color{#DB2777}\beta^+} + \ce{^0_0\nu_e}$
Par conservation de la charge et du nombre de nucléons, déterminer la nature des rayons $\beta^+$.
Radioactivité bêta plus $(\beta^+)$
La radioactivité $\beta^+$ correspond à la transformation d'un proton en neutron en émettant un positon $\ce{^{\;\;0}_{+1}e}$ (antiparticule de l'électron), accompagné d'un neutrino.
Elle concerne des noyaux comportant trop de protons.
Radioactivité gamma $(\gamma)$
$\ce{^{60}_{28} Ni^* -> ^{60}_{28} Ni} + {\color{#CA8A04}\gamma}$
Par conservation de la charge et du nombre de nucléons, déterminer la nature des rayons gamma.
Radioactivité gamma $(\gamma)$
La radioactivité gamma correspond à la désexcitation d'un noyau en émettant un photon (généralement dans le domaine électromagnétique des rayons gamma). Elle accompagne souvent une désintégration α ou β, qui laisse le noyau fils dans un état excité (noté $^*$).
Remarque : d'autres désintégrations
Les noyaux très éloignés de la vallée de stabilité peuvent aussi se désintégrer en émettant un ou plusieurs neutrons (ou protons). C'est le cas de certains produits de fission très riches en neutrons : après une désintégration $\beta^-$, ils émettent un neutron avec un léger retard. Ces « neutrons retardés » sont essentiels au pilotage des réacteurs nucléaires.
Enfin, les noyaux les plus lourds peuvent subir une fission spontanée : ils se cassent d'eux-mêmes en deux noyaux plus légers, en libérant quelques neutrons.
Le cobalt 60 se désintègre ($\beta^-$) en un nickel 60 excité, qui revient à son état fondamental en émettant deux photons γ successifs. L'énergie est typiquement de l'ordre du MeV ($\approx\pu{1E-13 J}$).
Les rayonnements n'ont pas du tout le même pouvoir de pénétration : les particules α sont arrêtées par une feuille de papier (ou quelques centimètres d'air), les particules β par quelques millimètres d'aluminium, et les rayons γ ne sont qu'atténués, même par plusieurs centimètres de plomb. Les neutrons, sans charge, traversent bien le plomb ; on les arrête avec de grandes épaisseurs de matériaux riches en hydrogène, comme l'eau ou le béton.
Retour au diagramme (N, Z)
Dans le diagramme $(N,Z)$, on voit les trois types à l'œuvre : les noyaux $\beta^-$ (trop de neutrons) sont au-dessus de la vallée de stabilité, les noyaux $\beta^+$ (trop de protons) en dessous, et les noyaux $\alpha$ parmi les plus lourds. Chaque désintégration rapproche le noyau fils de la vallée : cliquez sur un noyau du diagramme pour suivre sa chaîne jusqu'à un noyau stable.
Le principe. Une chambre à brouillard contient de l'air saturé de vapeur d'alcool, refroidi par le bas : la vapeur est sur le point de se condenser. En traversant l'air, une particule ionisante arrache des électrons aux molécules sur son passage ; ces ions servent de germes de condensation, et un fin sillage de gouttelettes matérialise sa trajectoire pendant une fraction de seconde. Les particules α laissent des traces courtes et épaisses, les électrons des traces fines et sinueuses, et les muons venus des rayons cosmiques de longues traces fines et rectilignes.
La recette.
Prendre une boîte transparente (petit aquarium, boîte en plastique) et coller une bande de feutre ou d'éponge sur le fond, qui sera en haut une fois la boîte retournée.
Imbiber généreusement le feutre d'alcool isopropylique.
Poser la boîte, ouverture vers le bas, sur une plaque métallique peinte en noir, elle-même posée sur de la carboglace (−78 °C).
Attendre une dizaine de minutes, dans la pénombre, puis éclairer horizontalement près du fond avec une lampe puissante : les traces apparaissent juste au-dessus de la plaque.
Sécurité : manipuler la carboglace avec des gants (brûlures par le froid), aérer la pièce, et tenir l'alcool isopropylique, très inflammable, à l'écart de toute flamme.
Définition
Un noyau radioactif a une certaine probabilité $\lambda\,\mathrm{d}t$ de se désintégrer pendant le prochain petit laps de temps $\mathrm{d}t$ (avec $\mathrm{d}t \ll 1/\lambda$).
$\lambda$ (en $\pu{s^-1}$) est la constante radioactive. Elle est indépendante du temps !
Après 1 s ou 1 000 ans, la probabilité pour un noyau de se désintégrer pendant les prochains $\mathrm{d}t$ vaut toujours $\lambda\,\mathrm{d}t$ : un noyau ne « vieillit » pas.
À retenir
Tous les noyaux d'un même isotope ont la même constante radioactive $\lambda$, et donc la même probabilité de se désintégrer pendant le prochain laps de temps infinitésimal $\mathrm{d}t$.
La désintégration d'un noyau radioactif est donc un phénomène aléatoire, et l'évolution d'une population de noyaux suit une loi statistique.
Soit $N(t)$ la population de noyaux non désintégrés à un instant $t$. La variation $\mathrm{d}N=N(t+\mathrm{d}t)-N(t)$ de la population pendant le laps de temps infinitésimal $\mathrm{d}t$ vaut :
$\mathrm{d}N=-N(t)\,\lambda\,\mathrm{d}t \qquad \text{soit} \qquad \dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} =-\lambda N(t)$
Équation différentielle
On reconnaît une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficient constant : elle lie la fonction $N(t)$ à sa dérivée première. Ses solutions sont de la forme :
$N(t)=C\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$
$\mathrm{e}^x = \exp(x)$ est la fonction exponentielle : elle est égale à sa propre dérivée, $\left(\mathrm{e}^{x}\right)' = \mathrm{e}^{x}$. Plus généralement, pour une fonction $u$ dérivable, $\left(\mathrm{e}^{u}\right)' = u'\,\mathrm{e}^{u}$ ; par exemple $\left(\mathrm{e}^{-\lambda t}\right)' = -\lambda\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$.
Sa fonction réciproque est le logarithme népérien, noté $\ln$ : $\ln\left(\mathrm{e}^x\right)=x$ et $\mathrm{e}^{\ln x} = x$.
Vérification : si $N(t) = C\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$, alors $\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = -\lambda C\,\mathrm{e}^{-\lambda t} = -\lambda N(t)$ : c'est bien une solution.
Conditions initiales
Si on connaît la population à l'instant initial, $N(t=0)=N_0$, on en déduit $C$ : $N(t=0)=C\,\mathrm{e}^{-\lambda \times 0} = C = N_0$.
Loi de décroissance radioactive
$$N(t)=N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$$
Animation interactive
Le hasard… et la loi qui en sort
Chaque disque orange est un noyau. À chaque instant, chacun a la même petite probabilité $\lambda\,\mathrm{d}t$ de se désintégrer (il devient gris), indépendamment des autres et de son « âge ».
Avec peu de noyaux, chaque simulation est différente et s'écarte nettement de l'exponentielle. Avec beaucoup de noyaux, le hasard se « moyenne » et la courbe colle à la loi $N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$ : c'est une loi statistique.
Remarque
On peut aussi écrire $N(t) = N_0\,\mathrm{e}^{-t/\tau}$, où $\tau=1/\lambda$ est le temps de vie moyen d'un noyau.
La population survivante suit $N(t)=N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$. Le temps total vécu par tous les noyaux est l'aire sous cette courbe : $\displaystyle\int_0^\infty N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t=\frac{N_0}{\lambda}$.
Le temps moyen vécu par chaque noyau est ce total divisé par $N_0$ : $\tau=\dfrac{1}{\lambda}$.
Définition
L'activité $A$ d'un échantillon radioactif est l'opposée de la dérivée temporelle du nombre de noyaux. C'est le nombre de désintégrations par seconde.
Activité
$$A(t)=-\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}$$
Démonstration
On dérive la loi de décroissance radioactive, avec $\left(\mathrm{e}^{u}\right)' = u'\,\mathrm{e}^{u}$ et $(-\lambda t)' = -\lambda$ :
$A(t) = -\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}\right) = -N_0\times(-\lambda)\,\mathrm{e}^{-\lambda t} = \lambda N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$
Évolution de l'activité
$$A(t)=\lambda N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t} = A_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}$$
Quelques activités typiques
| Échantillon ou source | Activité (ordre de grandeur) | Principal radionucléide | Échelle logarithmique |
|---|---|---|---|
| une banane | 15 Bq | potassium 40 | |
| 1 litre de lait | 50 Bq | potassium 40 | |
| 1 kg de granite | 1 000 Bq | potassium 40, uranium, thorium | |
| le corps humain (70 kg) | 8 000 Bq | potassium 40 et carbone 14 | |
| un détecteur de fumée (ancien modèle) | 37 000 Bq (37 kBq) | américium 241 | |
| une injection pour une TEP | 2,5 × 10⁸ Bq (250 MBq) | fluor 18 | |
| une source de curiethérapie à haut débit | 4 × 10¹¹ Bq (400 GBq) | iridium 192 |
Le becquerel est une unité minuscule : notre propre corps est le siège de quelque 8 000 désintégrations par seconde. Les barres sont proportionnelles au logarithme de l'activité : chaque douzième de la largeur représente un facteur 10.
Définition
La demi-vie $t_{1/2}$ mesure la durée au bout de laquelle la population radioactive est divisée par deux.
Demi-vie
$$t_{1/2}= \frac{\ln(2)}{\lambda} = \tau\times \ln(2)$$
Démonstration
$N(t_{1/2}) = \dfrac{N_0}{2}$ s'écrit $N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t_{1/2}} = \dfrac{N_0}{2}$, soit $\mathrm{e}^{\lambda t_{1/2}} = 2$, et donc $\lambda\,t_{1/2} = \ln 2$.
À retenir
Au bout de $n$ demi-vies, la population restante vaut $\dfrac{N_0}{2^{n}}$.
Cochez « demi-vies successives » dans l'animation ci-dessus : à chaque demi-vie, la population est de nouveau divisée par deux, quelle que soit la population de départ.
Question
On connaît $A_0$ et $A(t)$ (ou $N_0$ et $N(t)$). Que vaut $t$ ?
Démonstration
On prend le logarithme de l'activité :
$\ln (A(t)) = \ln\left(A_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}\right) = \ln (A_0) + \ln\left(\mathrm{e}^{-\lambda t}\right) = \ln (A_0) -\lambda t$
car $\ln(a\times b)=\ln(a)+\ln(b)$
D'où $t = -\dfrac{\ln (A(t)) - \ln (A_0)}{\lambda} = \dfrac{\ln (A_0) - \ln (A(t))}{\lambda}$, et comme $\ln\left(\dfrac ab\right)=\ln(a)-\ln(b)$ :
À partir des activités
$$t = \frac1\lambda \times \ln \left(\frac{A_0}{A(t)} \right)$$
À partir des populations
$$t = \frac1\lambda \times \ln \left(\frac{N_0}{N(t)} \right)$$
Le programme ci-dessous simule la décroissance de $N_0 = 100\,000$ noyaux : à chaque pas de temps $\mathrm{d}t$, chaque noyau restant se désintègre avec la probabilité $\lambda\,\mathrm{d}t$.
Question
Comment pourrait-on afficher aussi le temps de demi-vie ?
On mémorise la première date à laquelle $N$ devient inférieur ou égal à $N_0/2$, puis on la compare à la valeur théorique $\ln(2)/\lambda$ :
from random import random
from math import log
N0 = 100000
N = N0
t = 0
dt = 1E-2
lbda = 2
t_demi = None
while N:
for i in range(N):
if random() < lbda*dt:
N -= 1
t += dt
if t_demi is None and N <= N0/2:
t_demi = t
print(f"t1/2 simulé : {t_demi:.2f} s")
print(f"t1/2 théorique : {log(2)/lbda:.2f} s")Avec $\lambda = \pu{2 s^-1}$, on attend $t_{1/2} \approx \pu{0,35 s}$. Le pas $\mathrm{d}t$ limite la précision : le résultat est arrondi au centième de seconde près.
Principe
On utilise la loi de décroissance radioactive pour déterminer une date. Exemples :
Un être vivant échange du carbone avec son environnement : sa teneur en carbone 14 reste constante. À sa mort, les échanges cessent et le carbone 14 qu'il contient se désintègre sans être renouvelé.
Animation interactive
Dater un échantillon au carbone 14
Activité d'un gramme de carbone d'un être vivant : $A_0 \approx \pu{0,226 Bq}$. Les points verts marquent les demi-vies successives. Au-delà de 50 000 ans environ, il reste trop peu de carbone 14 pour une mesure fiable.
La médecine nucléaire fournit à la fois des techniques d'imagerie et de traitement.
Imagerie médicale
Contrairement à la radiographie traditionnelle où on observe l'ombre d'un rayonnement extérieur, le rayonnement est ici émis directement au niveau des organes, en faisant ingérer ou en injectant au patient une substance radioactive.
Animation interactive
Comment la TEP fabrique une image
Chaque annihilation (éclair violet) émet deux photons dos à dos. Les deux détecteurs touchés au même instant définissent une droite. Une seule droite ne dit pas où a eu lieu l'émission, mais en accumulant les droites, une zone brillante apparaît là où le traceur s'est concentré : la tumeur.
En TEP, on injecte un traceur émetteur $\beta^+$ (souvent du fluor 18, $t_{1/2} \approx 110$ min, fixé sur une molécule de glucose). Chaque positon s'annihile presque aussitôt avec un électron : deux photons γ de 511 keV partent dans des directions opposées. Les deux détecteurs touchés au même instant définissent une droite qui passe par le lieu de l'émission ; en combinant des millions de ces droites, l'ordinateur reconstruit une image 3D.
Les cellules cancéreuses consomment beaucoup de sucre. Pour une raison encore mal comprise, la plupart d'entre elles préfèrent la fermentation à la respiration, même en présence de dioxygène (c'est l'effet Warburg). La fermentation est bien plus rapide mais bien moins efficace (environ 6 % de l'énergie tirée de la respiration) : elles consomment donc énormément de glucose, et le glucose marqué au fluor 18 s'y accumule.
TEP ou scintigraphie ? La TEP offre une meilleure résolution (quelques millimètres) et une meilleure sensibilité, car la détection en coïncidence remplace le collimateur en plomb. Mais ses traceurs ont des demi-vies courtes (110 min pour le fluor 18) et demandent souvent un cyclotron proche. La scintigraphie, avec par exemple le technétium 99m ($t_{1/2} = 6$ h, produit sur place par un générateur), reste moins chère, très répandue et suffisante pour de nombreux examens (os, thyroïde, reins, cœur…).
Quelques vidéos : vidéo 1, vidéo 2, vidéo 3 (à partir de 2'12'').
Radiothérapie
Pour la prostate, par exemple, on implante de petits grains radioactifs d'iode 125 ($t_{1/2} \approx 59$ jours), de palladium 103 (17 jours) ou de césium 131 (9,7 jours).
À vous de jouer
Les trois règles de base de la radioprotection découlent des propriétés des rayonnements : s'éloigner de la source, réduire la durée d'exposition, et interposer un écran adapté au rayonnement (voir le schéma du pouvoir de pénétration).