Définition
La cinématique est l'étude du mouvement.
Définition
Un mouvement s'étudie dans un référentiel.
Un référentiel est un solide (ensemble de points fixes entre eux) par rapport auquel on repère la position ou le mouvement.
À retenir
Un référentiel est composé :
Animation interactive
Un même mouvement, deux référentiels
Un passager lâche une balle dans un train qui roule à vitesse constante (animation au ralenti).
La trajectoire d'un objet dépend du référentiel choisi : c'est pourquoi il faut toujours le préciser avant d'étudier un mouvement.
Référentiels usuels :
Terrestre
Référentiel terrestre : tout solide immobile à la surface de la Terre.
Pour étudier les mouvements à la surface de la Terre (chute d'un objet, voiture, ballon…).
Géocentrique
Référentiel géocentrique : solide défini par le centre de la Terre et 3 étoiles lointaines considérées comme fixes.
Pour étudier le mouvement de la Lune et des satellites autour de la Terre.
Héliocentrique
Référentiel héliocentrique : solide défini par le centre du Soleil et 3 étoiles lointaines considérées comme fixes.
Pour étudier le mouvement des planètes et des comètes autour du Soleil.
Définition
Dans un repère orthonormé $(\mathrm{O};\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, la position d'un point $\mathrm{M}$ à la date $t$ est donnée par son vecteur position :
${\color{#2A6BC4}\overrightarrow{\mathrm{OM}}(t)\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\\z(t)\end{pmatrix}} \quad\text{soit}\quad {\color{#2A6BC4}\overrightarrow{\mathrm{OM}}(t)=x(t)\,\vec{i}+y(t)\,\vec{j}+z(t)\,\vec{k}}$
On notera fréquemment :
Coordonnées du vecteur position
$$\begin{cases}x(t)=\ldots\\y(t)=\ldots\\z(t)=\ldots\end{cases}$$
Remarque
En pratique, les mouvements seront presque toujours à 2 dimensions seulement :
$\begin{cases}x(t)=\ldots\\y(t)=\ldots\end{cases}$
À retenir
La norme $\mathrm{OM}(t)$ du vecteur position vaut :
$\mathrm{OM}(t)=\left\|\overrightarrow{\mathrm{OM}}(t)\right\|=\sqrt{x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2}$
Unité : $\pu{m}$
Définition
Le vecteur vitesse moyenne d'un point $\mathrm{M}$ entre deux instants $t$ et $t+\Delta t$ est défini par :
$\begin{aligned}\vec{v}_m(t) &= \frac{\overrightarrow{\mathrm{M}(t)\mathrm{M}(t+\Delta t)}}{\Delta t}\\ &= \frac{\overrightarrow{\mathrm{OM}}(t+\Delta t)-\overrightarrow{\mathrm{OM}}(t)}{\Delta t}\\ &=\frac{\Delta\overrightarrow{\mathrm{OM}}(t)}{\Delta t}\end{aligned}$
À retenir
On obtient le vecteur vitesse $\vec{v}(t)$ en faisant tendre $\Delta t$ vers $0$. On obtient alors la dérivée du vecteur position.
Animation interactive
Du vecteur vitesse moyenne au vecteur vitesse
En bleu : le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{M}(t)\mathrm{M}(t+\Delta t)}$ ; en vert pointillé : le vecteur vitesse moyenne ; en orange : le vecteur vitesse (les deux vitesses sont tracées à la même échelle). Réduisez $\Delta t$.
Vecteur vitesse
$$\vec{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{OM}}}{\mathrm{d}t}$$
Notation
En physique, $\Delta$ correspond à une variation et $\mathrm{d}$ à une variation infinitésimale.
La notation physique $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ correspond à la notation mathématique $x'(t)$.
Coordonnées du vecteur vitesse
$\vec{v}(t) = v_x(t)\,\vec{i}+v_y(t)\,\vec{j}+v_z(t)\,\vec{k} = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\,\vec{i}+\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\,\vec{j}+\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\,\vec{k}$
$\begin{cases}v_x(t)=\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\ldots\\[2mm] v_y(t)=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\ldots\\[2mm] v_z(t)=\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\ldots\end{cases}$
À retenir
Le vecteur vitesse est porté par la tangente à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.
La norme $v(t)$ du vecteur vitesse vaut : $v(t)=\left\|\vec{v}(t)\right\|=\sqrt{v_x(t)^2+v_y(t)^2+v_z(t)^2}$. Unité : $\pu{m*s-1}$.
Définition
Le vecteur accélération moyenne d'un point $\mathrm{M}$ entre deux instants $t$ et $t+\Delta t$ est défini à partir du vecteur variation de vitesse :
$\vec{a}_m(t) = \dfrac{\vec{v}(t+\Delta t)-\vec{v}(t)}{\Delta t} = \dfrac{\Delta\vec{v}(t)}{\Delta t}$
À retenir
On obtient le vecteur accélération $\vec{a}(t)$ en faisant tendre $\Delta t$ vers $0$. Cela donne la dérivée du vecteur vitesse et donc la dérivée seconde du vecteur position.
Vecteur accélération
$$\vec{a}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2\overrightarrow{\mathrm{OM}}}{\mathrm{d}t^2}$$
Coordonnées du vecteur accélération
$\vec{a}(t) = a_x(t)\,\vec{i}+a_y(t)\,\vec{j}+a_z(t)\,\vec{k} = \dfrac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}\,\vec{i}+\dfrac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t}\,\vec{j}+\dfrac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t}\,\vec{k}$
$\begin{cases}a_x(t)=\dfrac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}=\ldots\\[2mm] a_y(t)=\dfrac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t}=\ldots\\[2mm] a_z(t)=\dfrac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t}=\ldots\end{cases}$
À retenir
Le vecteur accélération est dans la direction et le sens du vecteur variation de vitesse.
Dans le cas d'une trajectoire courbe, il pointe vers l'intérieur de la courbe.
La norme $a(t)$ du vecteur accélération vaut : $a(t)=\left\|\vec{a}(t)\right\|=\sqrt{a_x(t)^2+a_y(t)^2+a_z(t)^2}$. Unité : $\pu{m*s-2}$.
Animation interactive
Construire les vecteurs vitesse et accélération sur une chronophotographie
Point milieu : $\vec{v}_i \approx \dfrac{\overrightarrow{\mathrm{M}_{i-1}\mathrm{M}_{i+1}}}{2\tau}$, puis $\Delta\vec{v}_i = \vec{v}_{i+1}-\vec{v}_{i-1}$ et $\vec{a}_i \approx \dfrac{\Delta\vec{v}_i}{2\tau}$.
Les points sont séparés par une durée constante $\tau$. On reporte les deux vecteurs vitesse à partir de $\mathrm{M}_i$ pour construire $\Delta\vec{v}_i$. Les échelles des vecteurs sont arbitraires ; la vraie accélération (en pointillés gris) est calculée à partir de l'équation du mouvement.
| Point d'après | Point milieu | |
|---|---|---|
| Vitesse en $\mathrm{M}_i$ | $\vec{v}_i \approx \dfrac{\overrightarrow{\mathrm{M}_{i}\mathrm{M}_{i+1}}}{\tau}$ | $\vec{v}_i \approx \dfrac{\overrightarrow{\mathrm{M}_{i-1}\mathrm{M}_{i+1}}}{2\tau}$ |
| Accélération en $\mathrm{M}_i$ | $\vec{a}_i \approx \dfrac{\vec{v}_{i+1}-\vec{v}_{i}}{\tau}$ | $\vec{a}_i \approx \dfrac{\vec{v}_{i+1}-\vec{v}_{i-1}}{2\tau}$ |
| Lien avec la dérivée | taux d'accroissement entre $t_i$ et $t_i+\tau$ : c'est la définition même de la dérivée | taux d'accroissement entre $t_i-\tau$ et $t_i+\tau$, symétrique autour de $t_i$ |
| Direction de $\vec{v}_i$ | celle de la corde $\mathrm{M}_i\mathrm{M}_{i+1}$ : un peu décalée par rapport à la tangente en $\mathrm{M}_i$ | quasiment celle de la tangente en $\mathrm{M}_i$ |
| Mouvement circulaire uniforme | $\vec{a}_i$ ne pointe pas vers le centre : il est décalé de l'angle balayé entre deux positions (environ 12° dans l'animation) | $\vec{a}_i$ pointe exactement vers le centre, par symétrie |
Pourquoi cette différence ? Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{M}_i\mathrm{M}_{i+1}}/\tau$ est une vitesse moyenne entre $t_i$ et $t_i+\tau$ : elle représente plutôt la vitesse au milieu de cet intervalle, à $t_i+\tau/2$, qu'à $t_i$. Avec la méthode du point d'après, on attribue donc au point $\mathrm{M}_i$ des vecteurs qui correspondent en fait à des instants un peu plus tardifs. La méthode du point milieu, symétrique, évite ce décalage. Les deux méthodes donnent le même résultat quand l'accélération est constante (chute libre, mouvement rectiligne uniformément freiné) : la différence se voit surtout sur le mouvement circulaire.
Laquelle utiliser ? En seconde et en première, on utilise généralement la méthode du point d'après, qui colle à la définition de la dérivée. En terminale, on lui préfère souvent la méthode du point milieu, plus précise. Dans tous les cas, appliquer la méthode indiquée par l'énoncé.
Le point de vue du physicien
Dans une voiture, on parle de pédale de frein, de pédale d'accélérateur et de volant. Pour un physicien, ce sont trois accélérateurs ! Freiner, accélérer ou tourner, c'est toujours modifier le vecteur vitesse, en norme ou en direction : dans les trois cas, le vecteur accélération n'est pas nul.
Définition
Un mouvement est rectiligne si sa trajectoire est une droite.
Le vecteur vitesse conserve alors la même direction (celle du mouvement).
Définition
Si le vecteur vitesse est constant, le mouvement est dit rectiligne uniforme.
Que vaut alors le vecteur accélération ? $\vec{a}=\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\vec{0}$
Mouvement rectiligne uniforme
$$\text{MRU} \Leftrightarrow \vec{a}=\vec{0}$$
Définition
Un mouvement rectiligne avec un vecteur accélération constant ($\vec{a}(t)=\overrightarrow{\text{cte}}$) est dit rectiligne uniformément accéléré.
Question
Tracer les évolutions de la position $\color{#2A6BC4}x(t)$, de la vitesse $\color{#D97706}v(t)$ et de l'accélération $\color{#059669}a(t)$ pour un mouvement rectiligne uniforme, puis pour un mouvement rectiligne uniformément accéléré.
Animation interactive
Position, vitesse et accélération d'un mouvement rectiligne
Exercice
Avant d'aborder le virage des Combes (virage n°5) du circuit de Spa-Francorchamps, un pilote de F1 freine fortement pour passer sa vitesse de 327 km/h à 176 km/h en 1,48 s.
En supposant le mouvement rectiligne uniformément accéléré, décrire le vecteur accélération de la F1.
Sur combien de mètres a lieu le freinage ?
Il se fait en réalité sur 93 m, que peut-on conclure ?
On convertit les vitesses : $v_0 = \dfrac{327}{3{,}6} = \pu{90,8 m*s-1}$ et $v_1 = \dfrac{176}{3{,}6} = \pu{48,9 m*s-1}$.
Le mouvement étant rectiligne uniformément accéléré, $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{48{,}9 - 90{,}8}{1{,}48} = \pu{-28,3 m*s-2}$.
Le vecteur accélération a donc la direction du mouvement (la ligne droite), il est de sens opposé au mouvement, et sa norme vaut environ $\pu{28 m*s-2}$, soit près de 3 fois l'intensité de la pesanteur.
La vitesse variant linéairement avec le temps, la distance parcourue est celle qu'on parcourrait à la vitesse moyenne $\dfrac{v_0+v_1}{2}$ : $d = \dfrac{v_0+v_1}{2}\times\Delta t = \dfrac{90{,}8+48{,}9}{2}\times 1{,}48 = \pu{103 m}$.
Le freinage réel est plus court (93 m) pour la même durée : la F1 a donc perdu sa vitesse plus tôt que prévu. Le mouvement n'est pas uniformément accéléré : la décélération est plus forte au début du freinage, à grande vitesse, car la traînée aérodynamique et l'appui (qui plaque la voiture au sol et améliore l'adhérence des pneus) augmentent fortement avec la vitesse.
Définition
Un mouvement est circulaire si sa trajectoire est un cercle (ou un arc de cercle).
On parle de mouvement circulaire uniforme si la norme du vecteur vitesse est constante.
Le repère de Frenet
Pour décrire le mouvement circulaire d'un point M sur un cercle de centre O, on utilise un repère de Frenet. C'est un repère mobile centré au point étudié M et de vecteurs unitaires :
$\vec{u}_T$ est parfois noté $\vec{T}$ et $\vec{u}_N$ noté $\vec{N}$.
Vecteur vitesse
$$\vec{v}(t)\begin{cases}v_T(t)=v(t)\\v_N(t)=0\end{cases}$$
soit $\vec{v}(t)=v(t)\,\vec{u}_T$
Vecteur accélération
$$\vec{a}(t)\begin{cases}a_T(t)=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\\[2mm] a_N(t)=\dfrac{v^2}{R}\end{cases}$$
soit $\vec{a}(t)=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_T+\dfrac{v^2}{R}\,\vec{u}_N$
Animation interactive
Le repère de Frenet en mouvement
Et si le mouvement est circulaire uniforme ?
On a $\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=0$ puisque $v=\mathrm{cte}$. Et donc :
$\vec{a}(t)\begin{cases}a_T(t)=0\\[1mm] a_N(t)=\dfrac{v^2}{R}\end{cases}$
Mouvement circulaire uniforme
$$\vec{a}(t)= \frac{v^2}{R}\,\vec{u}_N$$
À retenir
L'accélération est centripète (dirigée vers le centre) et de norme constante.
Dans un mouvement circulaire uniforme, le vecteur vitesse garde la même norme $v$, mais il tourne avec le point M. Pendant une petite durée $\mathrm{d}t$, M parcourt l'arc $v\,\mathrm{d}t$, donc le rayon OM (et avec lui le vecteur vitesse, qui lui est perpendiculaire) tourne d'un petit angle $\mathrm{d}\theta = \dfrac{v\,\mathrm{d}t}{R}$.
Un vecteur de norme $v$ qui tourne d'un petit angle $\mathrm{d}\theta$ varie d'un petit vecteur de norme $v\,\mathrm{d}\theta$, perpendiculaire à lui, donc dirigé vers le centre. D'où :
$a = \dfrac{\|\mathrm{d}\vec{v}\|}{\mathrm{d}t} = \dfrac{v\,\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = v\times\dfrac{v}{R} = \dfrac{v^2}{R}$
On retrouve le résultat sans calcul de dérivée : il suffit de comprendre que « tourner », c'est déjà accélérer.