Lentille convergente
Une lentille convergente est caractérisée par sa distance focale $f'=\overline{\mathrm{OF'}}$, où O est son centre optique et F' son foyer image.
Son foyer objet F est le symétrique de F' par rapport à O : $\overline{\mathrm{OF}}=-\overline{\mathrm{OF'}}=-f'$.
On la représente par un trait vertical terminé par deux pointes de flèche dirigées vers l'extérieur.
À retenir
Animation interactive
La lentille convergente et l'infini
L'oculaire
Beaucoup d'instruments d'optique (lunette astronomique, télescope, microscope…) se terminent par une lentille appelée oculaire, dont le rôle est d'envoyer les rayons dans l'œil.
Dans l'idéal, ces rayons doivent être parallèles entre eux : l'œil voit alors l'image sans accommoder.
Lunette afocale
Une lunette astronomique regarde des objets très lointains : les rayons issus d'un point objet arrivent eux aussi parallèles entre eux. Une lunette astronomique bien réglée est donc par définition afocale :
$-\infty \xrightarrow{\text{(lunette astronomique)}} + \infty$
L'image d'un objet à l'infini est située à l'infini.
Grossir ?
Une lunette astronomique permet de « grossir » des objets très éloignés. Grossir, c'est augmenter le diamètre apparent de l'objet, c'est-à-dire l'angle sous lequel l'objet est vu (et non sa taille !).
Si l'objet est vu sous l'angle $\color{#0284C7}\alpha$ sans la lunette et sous l'angle $\color{#BE185D}\alpha'$ à travers la lunette, le grossissement est :
$G=\dfrac{\color{#BE185D}\alpha'}{\color{#0284C7}\alpha}$
Exemple : le diamètre apparent du Soleil et de la Lune est d'environ 0,5°, soit 30 minutes d'angle.
Deux lentilles convergentes
On utilise deux lentilles convergentes pour réaliser une lunette astronomique de type Kepler : la première est l'objectif, la seconde l'oculaire.
Condition d'afocalité
Le foyer image de l'objectif doit être confondu avec le foyer objet de l'oculaire : ${\color{#2A6BC4}\mathrm{F'_{ob}}} = {\color{#DB2777}\mathrm{F_{oc}}}$.
Conséquence : la distance $\mathrm{O_{ob}}\mathrm{O_{oc}}$ entre les deux lentilles (approximativement la longueur de la lunette) vaut $f'_\mathrm{ob}+f'_\mathrm{oc}$.
Exprimons le grossissement en fonction de $f'_\mathrm{ob}$ et $f'_\mathrm{oc}$, à l'aide de la construction ci-dessous (dernière étape du tuto). $\color{#059669}\mathrm{A_i}\mathrm{B_i}$ est l'image réelle et renversée, par l'objectif, de l'objet lointain $\mathrm{A_\infty}\mathrm{B_\infty}$.
Démonstration (à savoir refaire)
Dans le triangle rectangle $\mathrm{O_{ob}}\mathrm{A_i}\mathrm{B_i}$ : $\mathrm{A_i}\mathrm{B_i}=f'_\mathrm{ob}\times\tan(\alpha)$.
Dans le triangle rectangle $\mathrm{O_{oc}}\mathrm{A_i}\mathrm{B_i}$ : $\mathrm{A_i}\mathrm{B_i}=f'_\mathrm{oc}\times\tan(\alpha')$.
D'où $f'_\mathrm{ob}\times\tan(\alpha) = f'_\mathrm{oc}\times\tan(\alpha')$, soit $\dfrac{\tan(\alpha')}{\tan(\alpha)} = \dfrac{f'_\mathrm{ob}}{f'_\mathrm{oc}}$.
Dans l'approximation des petits angles ($\alpha,\alpha'\ll \pu{1 rad}$), $\tan(\alpha)\approx \alpha$ et $\tan(\alpha')\approx\alpha'$ (angles en radians).
Grossissement d'une lunette afocale
$$G = \frac{\alpha'}{\alpha} = \frac{f'_\mathrm{ob}}{f'_\mathrm{oc}}$$
C'est la compétence clé du chapitre. Suivez le tuto étape par étape, d'abord avec un objet dans la direction de l'axe (inclinaison nulle), puis avec un objet vu sous un angle $\alpha$.
Animation interactive
Construire, pas à pas, la marche des rayons dans une lunette
Sur un schéma, on exagère toujours l'angle $\alpha$, qui est en réalité minuscule pour un objet céleste : sinon, on ne verrait rien.
Méthode : tracer la marche des rayons (objet vu sous un angle α)
Placer l'objectif, l'oculaire et les foyers, avec ${\color{#2A6BC4}\mathrm{F'_{ob}}} = {\color{#DB2777}\mathrm{F_{oc}}}$.
Tracer le rayon incident qui passe par $\mathrm{O_{ob}}$ : il n'est pas dévié, et coupe le plan focal image de l'objectif en $\mathrm{B_i}$.
Placer l'image intermédiaire $\mathrm{A_i}\mathrm{B_i}$, renversée, avec $\mathrm{A_i}$ en $\mathrm{F'_{ob}}$, et prolonger le rayon en ligne droite au-delà de $\mathrm{B_i}$, jusqu'à l'oculaire.
Tracer en pointillés le rayon fictif $(\mathrm{B_i}\mathrm{O_{oc}})$, qui ne serait pas dévié par l'oculaire.
Tracer le rayon émergent parallèle à ce rayon fictif, et repérer l'angle $\alpha'$.
Tracer, si besoin, d'autres rayons : parallèles au premier avant l'objectif, ils passent tous par $\mathrm{B_i}$, puis ressortent tous parallèles au rayon fictif (voir l'astuce ci-dessous).
L'astuce pour ajouter d'autres rayons
Une fois le premier rayon tracé (celui qui passe par $\mathrm{O_{ob}}$), tous les autres s'en déduisent sans calcul :
Deux points de passage ($\mathrm{O_{ob}}$ et $\mathrm{B_i}$) et deux directions (celle du faisceau incident et celle du rayon fictif) suffisent donc à tracer autant de rayons qu'on veut.
Question
Qu'est-ce qui ne va pas dans le schéma de gauche ?
Les rayons ne doivent pas être déviés en $\mathrm{B_i}$ : il n'y a pas de lentille à cet endroit ! Ils le traversent en ligne droite et ne changent de direction qu'en traversant l'oculaire.
On peut compléter le schéma en modélisant l'œil de l'observateur par un œil réduit : une lentille convergente (le cristallin) et un écran (la rétine). Un œil au repos voit net un objet à l'infini : la rétine est alors dans le plan focal image du cristallin.
Animation interactive
L'image sur la rétine, à travers la lunette
L'œil est placé là où le faisceau émergent est le plus étroit (le « cercle oculaire », image de l'objectif par l'oculaire) : tous les rayons y entrent. Les rayons parallèles qui sortent de l'oculaire convergent en un point B' de la rétine, que l'on trouve, là encore, grâce au rayon qui passe par le centre du cristallin.
À retenir
La taille de l'image sur la rétine est proportionnelle à l'angle sous lequel on voit l'objet : $f'_\text{œil}\times\tan(\alpha)$ à l'œil nu, $f'_\text{œil}\times\tan(\alpha')$ à travers la lunette. Le grossissement $G=\alpha'/\alpha$ est donc aussi le facteur d'agrandissement de l'image sur la rétine : c'est ce que l'on perçoit comme un objet « plus gros ».
Collecter la lumière
Les étoiles autres que le Soleil sont trop loin pour être vues autrement que comme des points, même à travers une lunette astronomique. Mais la lunette a une autre utilité : elle permet d'augmenter la luminosité, en concentrant la lumière qui traverse l'objectif. Pour cela, l'objectif doit avoir le plus grand diamètre possible.
Les limites des grandes lentilles
Les miroirs gomment tous ces défauts : c'est pourquoi les grands télescopes sont réflecteurs et non réfracteurs. En pratique, on n'a jamais dépassé 1 m pour l'objectif d'une lunette, alors qu'il existe (presque) des télescopes de 40 m de diamètre.
À retenir
Pour avoir la meilleure lunette astronomique, il faut donc :
L'encombrement de la lunette est alors approximativement donné par la somme des distances focales de l'objectif et de l'oculaire.
Protocole : réaliser et vérifier une lunette afocale
surligné : à écrire sur une copiegestes utiles en TP
Identifier l'objectif et l'oculaire : l'objectif est la lentille de plus grande distance focale ($f' = 1/C$, si la vergence $C$ est indiquée en dioptries).
Pour estimer rapidement une distance focale, former sur un écran (ou un mur) l'image nette d'un objet très lointain, par exemple le paysage vu par la fenêtre : la distance entre la lentille et l'écran vaut alors environ $f'$. La lentille la plus « bombée » est celle qui a la plus petite distance focale.
Disposer d'un objet à l'infini : un objet très lointain, ou un objet lumineux placé dans le plan focal objet d'une lentille auxiliaire (collimateur).
Pour régler un collimateur, on peut placer un miroir plan juste derrière la lentille auxiliaire : l'objet est dans le plan focal objet quand son image, renvoyée par le miroir, est nette sur l'objet lui-même (autocollimation).
Placer l'objectif, puis repérer sur un écran l'image intermédiaire de l'objet : elle se forme dans le plan focal image de l'objectif, à $f'_\mathrm{ob}$ de celui-ci.
Vérifier que l'image est nette et renversée, noter la position de l'écran sur le banc, puis retirer l'écran.
Placer l'oculaire de façon que son foyer objet soit confondu avec le foyer image de l'objectif : les deux lentilles sont distantes de $f'_\mathrm{ob}+f'_\mathrm{oc}$.
Vérification à l'œil : en regardant dans l'oculaire, on doit voir l'image de l'objet lointain nette, sans accommoder (œil au repos), et renversée.
Placer l'œil près de l'oculaire, sur l'axe. Ajuster finement la position de l'oculaire sur le banc jusqu'à obtenir une image nette en gardant l'œil détendu, comme pour regarder au loin. Un élève myope ou hypermétrope garde ses lunettes, ou ajuste l'oculaire pour sa vue.
Vérification à l'écran : éclairée par un faisceau parallèle, la lunette doit en donner un autre en sortie. La tache lumineuse sur un écran placé derrière l'oculaire garde alors le même diamètre quand on éloigne l'écran.
Éclairer l'objectif avec le collimateur, et déplacer l'écran d'une vingtaine à une soixantaine de centimètres derrière l'oculaire : si la tache grossit ou rétrécit, l'oculaire est mal placé.
Mesurer le grossissement : comparer $G = f'_\mathrm{ob}/f'_\mathrm{oc}$ au rapport $D/d$ du diamètre $D$ du faisceau qui entre dans l'objectif et du diamètre $d$ du faisceau qui sort de l'oculaire.
Ce rapport vaut bien $G$ : le faisceau parallèle entrant converge en $\mathrm{F'_{ob}}$ puis diverge jusqu'à l'oculaire, et les triangles semblables donnent $\dfrac{D}{d} = \dfrac{f'_\mathrm{ob}}{f'_\mathrm{oc}}$. Mesurer $d$ sur l'écran placé juste derrière l'oculaire.
Sécurité
Ne jamais viser le Soleil avec une lunette ou une lentille, même un instant : la lumière concentrée brûle instantanément et définitivement la rétine.