Johannes Kepler a énoncé trois lois empiriques concernant les mouvements des planètes autour du Soleil, qu'on peut étendre aux mouvements des satellites autour des planètes.
Remarque
Ces lois sont valables pour tout problème à deux corps en interaction gravitationnelle : une planète autour du Soleil, la Lune autour de la Terre, un satellite artificiel…
Première loi de Kepler
Dans le référentiel héliocentrique, les trajectoires des planètes du système solaire sont des ellipses, dont le Soleil occupe l'un des foyers.
L'ellipse
Une ellipse est une sorte de cercle aplati. Elle est caractérisée par :
Si $e=0$, $a=b$ : l'ellipse est un cercle. Si $0 < e < 1$, $a > b$.
Animation interactive
L'ellipse et ses foyers
Pour tout point M de l'ellipse, la somme des distances aux deux foyers est constante : $\mathrm{MF_1}+\mathrm{MF_2}=2a$. C'est la « méthode du jardinier » : une ficelle de longueur $2a$ attachée à deux piquets, tendue par un crayon, trace une ellipse. Pour la Terre, l'ellipse est indiscernable d'un cercle !
À part Mercure, les planètes du système solaire ont une très faible excentricité :
| Planète | Mercure | Vénus | Terre | Mars | Jupiter | Saturne | Uranus | Neptune |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $e$ | 0,2056 | 0,0068 | 0,0167 | 0,0934 | 0,0489 | 0,0565 | 0,0457 | 0,0113 |
Deuxième loi de Kepler
Le segment [SP] qui relie le centre P de la planète au centre S du Soleil balaie des aires égales pendant des durées égales.
Animation interactive
Des aires égales en des durées égales
L'orbite est découpée en 12 secteurs, chacun balayé pendant un douzième de la période : ils ont tous la même aire. Près du Soleil, les secteurs sont courts et larges, donc la planète parcourt un grand arc : elle va plus vite.
Conséquence sur la vitesse des planètes
La vitesse de la planète évolue le long de son orbite en fonction de la distance au Soleil :
Troisième loi de Kepler
Le quotient du carré de la période de révolution $T$ d'une planète par le cube de la longueur $a$ du demi-grand axe de son orbite est égal à une même constante pour toutes les planètes du système solaire.
Loi des périodes
$$\frac{T^2}{a^3} = k$$
Remarques
Animation interactive
Vérifier la troisième loi… et peser l'astre central
Données réelles. Les points s'alignent sur une droite passant par l'origine : $T^2$ est proportionnel à $a^3$. Comme on le démontre plus bas, $k = \dfrac{4\pi^2}{GM}$ : mesurer $k$ permet de « peser » l'astre central. En échelles logarithmiques, les points très éloignés deviennent lisibles.
Définition
D'après la loi d'interaction gravitationnelle, un astre de masse $M_\mathcal{A}$ et de centre de masse O crée en tout point M de l'espace un champ de gravitation $\vec{\mathcal{G}}$.
Champ de gravitation
$$\vec{\mathcal{G}}= G\frac{M_\mathcal{A}}{\mathrm{OM}^2}\,{\color{#6EE7B7}\vec{u}_N}$$
Champ newtonien
Si un système de masse $m$ n'est soumis qu'à l'attraction d'un seul astre de masse $M_\mathcal{A}$, le champ est dit newtonien ; la seule force est la force d'interaction gravitationnelle $\vec{F}=m\vec{\mathcal{G}}$.
Référentiel astrocentrique
On se place dans un référentiel astrocentrique : il est lié au centre de masse O de l'astre et à 3 étoiles lointaines supposées fixes. Il est supposé galiléen.
Si l'astre est la Terre, c'est le référentiel géocentrique ; si c'est le Soleil, le référentiel héliocentrique.
La trajectoire du système de masse $m$ et de centre de masse M est appelée orbite.
Étudions le mouvement de M dans le cas d'une orbite circulaire. Si $M_\mathcal{A}\gg m$, l'orbite pourra être considérée comme centrée en O, le centre de l'astre.
Deuxième loi de Newton : $m{\color{#059669}\vec{a}}={\color{#E11D48}m\vec{\mathcal{G}}}\ \Rightarrow\ {\color{#059669}\vec{a}}={\color{#E11D48}\vec{\mathcal{G}}}$.
Projection dans le repère de Frenet : le champ est dirigé vers O, donc selon $\vec{u}_N$, et n'a pas de composante tangentielle :
$\begin{cases}{\color{#059669}a_T=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}}={\color{#E11D48}0}\\[3mm] {\color{#059669}a_N = \dfrac{v^2}{R}} = {\color{#E11D48}G\dfrac{M_\mathcal{A}}{R^2}}\end{cases}$
$R$ est le rayon de l'orbite ($R=\mathrm{OM}=\mathrm{cte}$).
Accélération sur une orbite circulaire
$$\vec{a}=G\frac{M_\mathcal{A}}{R^2}\,\vec{u}_N$$
À retenir
Vecteur vitesse sur une orbite circulaire
$$\vec{v}=\sqrt{\frac{G M_\mathcal{A}}{R}} \, \vec{u}_T$$
Définition
La période de révolution $T$ est la durée pour parcourir une fois l'orbite circulaire de rayon $R$. On a donc : $v\times T = 2\pi R$.
Démonstration
On élève au carré, puis on remplace $v^2$ par son expression :
${\color{#D97706}v^2} \times T^2 = 4\pi^2 R^2 \quad\Rightarrow\quad {\color{#D97706}\dfrac{G M_\mathcal{A}}{R}}\times T^2 = 4\pi^2 R^2$
Et en réarrangeant :
Troisième loi de Kepler (orbite circulaire)
$$\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{G M_\mathcal{A}}$$
À retenir
Comme $\dfrac{T^2}{R^3}$ ne dépend pas de la masse $m$ du système, on vient de démontrer la troisième loi de Kepler dans le cas d'une orbite circulaire.
La période de révolution est d'autant plus grande que l'orbite est éloignée de l'astre, et la vitesse d'autant plus petite.
Animation interactive
Satellites en orbite circulaire autour de la Terre
Plus le satellite est haut, plus il va lentement, et plus sa période est longue : l'ISS fait le tour de la Terre en 1 h 30 environ, à près de 28 000 km/h.
Définition
Un satellite géostationnaire est un satellite immobile dans le référentiel terrestre :
La période de rotation de la Terre par rapport aux étoiles (le jour sidéral) vaut 23 h 56 min 4 s. Les 24 h correspondent au jour solaire, qui tient compte du déplacement de la Terre autour du Soleil.
Posons $R=R_\mathrm{T}+h$, où $R_\mathrm{T}$ est le rayon terrestre et $h$ l'altitude du satellite, puis isolons $h$ :
$\dfrac{T^2}{(R_\mathrm{T}+h)^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM_\mathrm{T}} \quad\Longrightarrow\quad h = \sqrt[3]{\dfrac{GM_\mathrm{T}\, T^2}{4\pi^2}}-R_\mathrm{T}$
Application numérique
Données : $M_\mathrm{T}=\pu{6,0E24 kg}$ ; $R_\mathrm{T}=\pu{6,4E6 m}$ ; $T \approx \pu{24 h}$.
$h=\left(\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\times 6{,}0\times 10^{24}\times( 24 \times 3600)^2 }{4\pi^2}\right)^{1/3}-6{,}4\times 10^{6} = \pu{3,6E7 m}$
Les satellites géostationnaires orbitent à une altitude d'environ 36 000 km. Avec le jour sidéral, plus rigoureux, on trouve 35 800 km : la différence est invisible à deux chiffres significatifs.
Question
Pourquoi cette scène n'est-elle pas réaliste (à part la présence de frottements) ?
Car tout objet qui orbite autour d'un « caillou » près de sa surface le fait en environ 1 h 30 !
Supposons une boule rocheuse de densité uniforme égale à 5 (la densité moyenne de la Terre) : $\rho\approx\pu{5E3 kg*m-3}$, et sa masse vaut $M = \rho\times V= \rho\times\frac 43 \pi R^3$.
Or, on a obtenu plus haut $T^2 = \dfrac{4\pi^2 R^3}{GM}$. En remplaçant $M$ : $T^2 = \dfrac{4\pi^2 R^3}{G \rho \frac 43 \pi R^3}$.
Après simplification : $T^2 = \dfrac{3\pi }{G \rho}$, soit $T = \sqrt{\dfrac{3\pi}{G\rho}}$.
Le résultat ne dépend plus de $R$ ! Pour toute boule d'à peu près la même densité, on obtient la même période de révolution près de sa surface.
A.N. : $T = \sqrt{\dfrac{3\pi}{6{,}67\times10^{-11}\times 5{,}0\times10^{3}}} \approx \pu{5E3 s}$, soit entre 1 h et 2 h (environ 1 h 30). Si Obélix recommençait la même expérience sur la Lune, il trouverait un temps comparable.
En réalité, la Lune est un peu moins dense (densité 3,3 environ, car elle n'a qu'un tout petit noyau de fer) : on trouve plutôt 1 h 50.
Question
Et si Obélix lançait le javelot plus fort ?
Animation interactive
Le canon de Newton
On lance horizontalement un objet depuis le sommet d'une très haute montagne (200 km !), sans frottements.
À retenir
Une orbite circulaire de rayon $R$ donné correspond à une et une seule vitesse : $v = \sqrt{GM/R}$. Plus lent, l'objet retombe ; plus rapide, son orbite devient elliptique (elle n'est plus circulaire).
Au-delà de la vitesse de libération (11,2 km/s depuis la surface de la Terre), l'objet échappe définitivement à l'attraction gravitationnelle de la Terre.
| Orbite | Altitude | Usages |
|---|---|---|
| basse (LEO) | 160 à 2 000 km | station spatiale, constellations Internet, observation de la Terre ; lancement peu coûteux, faible délai radio |
| moyenne (MEO) | 2 000 à 35 786 km | navigation : GPS (20 200 km), Galileo (23 200 km) |
| géostationnaire (GEO) | 35 786 km | télécommunications, météorologie : le satellite reste au-dessus d'un même point de l'équateur |
| héliosynchrone (SSO) | 600 à 800 km environ | orbite quasi polaire qui passe toujours à la même heure solaire locale : idéale pour l'imagerie |
| Molniya | très elliptique | apogée haut au-dessus de l'hémisphère Nord, pour les liaisons aux hautes latitudes |
Les débris spatiaux. Autour de la Terre gravitent des satellites en service, des étages de fusée abandonnés et une multitude de débris. Le 10 février 2009, le satellite de téléphonie Iridium 33 et le satellite militaire russe hors service Kosmos-2251 sont entrés en collision à 776 km d'altitude au-dessus de la Sibérie, à environ 11,6 km/s : la collision a produit des centaines de débris. Les agences de surveillance préviennent désormais les opérateurs, et la Station spatiale internationale manœuvre régulièrement pour éviter des débris.
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