Définitions
Un fluide est un liquide ou un gaz.
Un fluide incompressible est un fluide dont la masse volumique est constante : $\rho=\mathrm{cte}$.
Remarque
Le modèle nécessite une température constante et homogène dans le fluide. Les vitesses d'écoulement doivent aussi être petites devant la célérité des ondes sonores dans le fluide ($v\ll c_\mathrm{son}$). Ainsi, même l'air peut être considéré comme incompressible pour des vitesses de quelques dizaines de mètres par seconde.
Rappel : force pressante
$$F = P\times S$$
Définition
Un corps plongé dans un fluide incompressible au repos reçoit une force opposée au poids du fluide déplacé. C'est la poussée d'Archimède, notée $\vec{\pi}_\mathrm{A}$.
Cette action est la résultante des forces de pression du fluide sur le corps. Elle est non nulle à cause de la pesanteur, qui rend la pression plus grande en profondeur.
Calculons la résultante des forces de pression sur un cylindre vertical de hauteur $h$ et de section $S$, immergé dans un fluide incompressible au repos de masse volumique $\rho$.
Démonstration
Les forces pressantes sur la face latérale s'annulent deux à deux à une altitude donnée. Il ne reste plus qu'à considérer les deux faces horizontales.
Sur la face du bas : $\vec{F}_\mathrm{pb} = P(z_0)\times S\times \vec{k}$. Sur la face du haut : $\vec{F}_\mathrm{ph}=-P(z_0+h) \times S\times \vec{k}$.
D'après le principe fondamental de l'hydrostatique : $P(z_0+h)=P(z_0)-\rho \, g \, h$.
D'où : $\vec{\pi}_\mathrm{A} = \vec{F}_\mathrm{pb}+\vec{F}_\mathrm{ph} = \big(P(z_0)-P(z_0+h) \big)\, S\, \vec{k} = \rho \, g \, {\color{#2A6BC4} h \, S}\, \vec{k} = \rho \, g \, {\color{#2A6BC4} V}\, \vec{k} = -\rho \, V \, \vec{g}$, car $\vec{g} = -g\,\vec{k}$.
Poussée d'Archimède (généralisable à tout corps)
$$\vec{\pi}_\mathrm{A} = - \rho \, V \, \vec{g}$$
Attention
Si le corps flotte, $V$ désigne seulement le volume de la partie immergée du corps ! Et $\rho$ est la masse volumique du fluide, pas celle du corps.
🧊 Application
Quelle est la proportion immergée du volume d'un glaçon ? Données : masse volumique de l'eau $\rho_\ell = \pu{1,0E3 kg*m-3}$ ; masse volumique de la glace $\rho_\mathrm{g} = \pu{9,2E2 kg*m-3}$.
Question subsidiaire : qu'en est-il pour un iceberg dans l'océan 🚢 ?
Bilan des forces sur le glaçon : son poids $\vec{P}=m\vec{g}=\rho_\mathrm{g} V_\mathrm{tot} \,\vec{g}$ et la poussée d'Archimède $\vec{\pi}_\mathrm{A} = -\rho_\ell V_\mathrm{imm} \, \vec{g}$.
Le glaçon est à l'équilibre : dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la 1re loi de Newton donne $\vec{P}+\vec{\pi}_\mathrm{A}= \vec{0}$, soit $\rho_\mathrm{g} V_\mathrm{tot} \, \vec{g} - \rho_\ell V_\mathrm{imm} \, \vec{g} = \vec{0}$.
D'où $\dfrac{V_\mathrm{imm}}{V_\mathrm{tot}} = \dfrac{\rho_\mathrm{g}}{\rho_\ell} = \dfrac{920}{1000} = 0{,}92$ : 92 % du glaçon est immergé !
Iceberg : l'eau de mer, salée, est plus dense que l'eau douce ($\rho \approx \pu{1,03E3 kg*m-3}$). La proportion immergée est un peu plus faible : $\dfrac{920}{1030} \approx 89\ \%$. C'est la fameuse « partie immergée de l'iceberg ».
Mesurer la poussée d'Archimède
L'animation réunit les deux mesures : elles donnent la même valeur.
Animation interactive
Dynamomètre et vase à trop-plein
Objet : cylindre d'aluminium de 100 mL et de 270 g. Dans l'eau, on trouve $P - F_\mathrm{dyn} = \pu{0,981 N}$ et $m = \pu{100 g}$, soit $m\,g = \pu{0,981 N}$ : la poussée d'Archimède est bien égale au poids du liquide déplacé. Plus le liquide est dense, plus elle est grande.
Exercice
On tare la balance avant d'immerger la tour Eiffel, suspendue à une ficelle. Que mesure alors la balance après immersion de la tour ?
Ce que mesure la balance. La balance mesure la force que le système posé sur elle exerce sur son plateau, et affiche la norme de cette force divisée par $g$. D'après la 3e loi de Newton, cette force est l'opposée de la réaction $\vec{N}$ du plateau sur le système :
$\vec{F}_\mathrm{syst/balance}= -\vec{N} \qquad\text{donc la balance affiche}\qquad \dfrac{\|\vec{N}\|}{g}$
Avant la tare. Système {eau + cristallisoir}, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
Bilan des forces :
Le système est immobile : d'après la 1re loi de Newton, la somme des forces est nulle.
$(m_\mathrm{eau}+m_\mathrm{crist})\,\vec{g} + \vec{N} = \vec{0}$
$\vec{N} = -(m_\mathrm{eau}+m_\mathrm{crist})\,\vec{g} \qquad\text{donc}\qquad \dfrac{\|\vec{N}\|}{g} = m_\mathrm{eau}+m_\mathrm{crist}$
La balance affiche bien la masse du système. Comme on a taré, elle indique zéro pour cette valeur $m_\mathrm{eau}+m_\mathrm{crist}$.
Après immersion. Système {tour}.
Bilan des forces :
La tour est immobile : d'après la 1re loi de Newton,
$m_\mathrm{tour}\,\vec{g}+\vec{T}+\vec{\pi}_\mathrm{A}=\vec{0}$
${\color{#CA8A04} m_\mathrm{tour}\,\vec{g}=-\vec{T}-\vec{\pi}_\mathrm{A}}$
Après immersion. Système {eau + cristallisoir + tour}.
Bilan des forces :
La poussée d'Archimède n'apparaît pas : c'est une force exercée par l'eau sur la tour, deux parties du système. C'est une force intérieure.
Le système est immobile : d'après la 1re loi de Newton,
$(m_\mathrm{tour}+m_\mathrm{eau}+m_\mathrm{crist})\,\vec{g}+\vec{T}+\vec{N}=\vec{0}$
On développe le poids, puis on remplace $m_\mathrm{tour}\,\vec{g}$ grâce au résultat précédent :
${\color{#CA8A04} m_\mathrm{tour}\,\vec{g}}+m_\mathrm{eau}\,\vec{g}+m_\mathrm{crist}\,\vec{g}+\vec{T}+\vec{N}=\vec{0}$
${\color{#CA8A04} -\vec{T}-\vec{\pi}_\mathrm{A}}+m_\mathrm{eau}\,\vec{g}+m_\mathrm{crist}\,\vec{g}+\vec{T}+\vec{N}=\vec{0}$
$\vec{N}=\vec{\pi}_\mathrm{A}-m_\mathrm{eau}\,\vec{g}-m_\mathrm{crist}\,\vec{g}$
$\vec{N}=-\rho_\mathrm{eau}V_\mathrm{tour}\,\vec{g}-m_\mathrm{eau}\,\vec{g}-m_\mathrm{crist}\,\vec{g}$
$\dfrac{\|\vec{N}\|}{g}=\rho_\mathrm{eau}V_\mathrm{tour} + m_\mathrm{eau}+m_\mathrm{crist}$
Conclusion. La tare retranche $m_\mathrm{eau}+m_\mathrm{crist}$ : la balance affiche $\rho_\mathrm{eau}V_\mathrm{tour}$.
Comme $\rho_\mathrm{eau}=\pu{1,00 g*mL-1}$, une balance réglée en grammes affiche directement le volume de la tour en millilitres : c'est une façon élégante de mesurer un volume.
Définition
Le débit volumique est le volume de fluide qui traverse une section droite du conduit où s'écoule le fluide, par unité de temps.
Débit volumique
$$D_V = \frac{V}{\Delta t}$$
Si $S$ est l'aire de la section droite et $v$ la vitesse de l'écoulement à cet endroit, alors :
Débit, section et vitesse
$$D_V = \frac{S\times v\times \Delta t}{\Delta t} = v\times S$$
À retenir
Pour un fluide incompressible, le débit se conserve. Dans un conduit de section variable :
${\color{#D97706}v_1}\times {\color{#2A6BC4}S_1} = {\color{#D97706}v_2}\times {\color{#2A6BC4}S_2}$
La vitesse d'écoulement est inversement proportionnelle à l'aire de la section du conduit : le fluide accélère dans un rétrécissement. C'est ce qu'on fait en bouchant à moitié l'embout d'un tuyau d'arrosage.
Fluide parfait
Un fluide est dit parfait si on peut décrire son écoulement sans prendre en compte les effets de la viscosité.
En pratique, si les effets de la viscosité sont suffisamment faibles par rapport aux effets inertiels (liés à la vitesse), l'approximation de fluide parfait est adaptée, d'autant plus qu'on est loin d'un obstacle ou d'une paroi.
L'hélium liquide, refroidi en dessous de 2,17 K, devient superfluide : sa viscosité s'annule. Il en devient fondamentalement étrange : un film invisible remonte le long de la paroi intérieure d'un récipient, redescend à l'extérieur et forme des gouttes qui tombent, jusqu'à ce que le récipient soit vide. Voir la photo. Les condensats de Bose-Einstein sont aussi superfluides, et le plasma de quarks et de gluons créé dans les collisionneurs de particules est le fluide le moins visqueux connu, presque parfait.
Près d'une paroi, en revanche, un fluide réel est toujours visqueux : il « colle » à la paroi. On sépare alors l'étude en deux domaines : une mince couche limite près de la paroi, où la viscosité compte, et le reste de l'écoulement, où le fluide peut être considéré comme parfait.
Écoulement permanent
Un écoulement en régime permanent (ou stationnaire) est un écoulement où la vitesse en chaque point ne varie pas au cours du temps.
Ligne de courant
Une ligne de courant d'un écoulement est une courbe tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse. Les lignes de courant permettent de cartographier le champ des vitesses du fluide.
Ce n'est pas la même chose qu'une trajectoire : on ne suit pas une particule dans le temps, on regarde à un instant donné les vitesses d'un ensemble de particules. Mais en régime permanent, les lignes de courant se confondent avec les trajectoires des particules.
Animation interactive
Lignes de courant autour d'un obstacle
Écoulement permanent d'un fluide parfait autour d'un cylindre (modèle de l'écoulement potentiel). Les particules suivent exactement les lignes de courant : en régime permanent, lignes de courant et trajectoires se confondent. Elles vont plus vite là où les lignes se resserrent, sur les flancs de l'obstacle. Un fluide réel, visqueux, formerait en plus des tourbillons derrière l'obstacle.
Relation de Bernoulli
L'écoulement d'un fluide incompressible, parfait, en régime permanent suit la relation de Bernoulli entre deux points $\mathrm{M_1}$ et $\mathrm{M_2}$ d'une même ligne de courant.
Relation de Bernoulli
$${\color{#5EEAD4}P_1}+{\color{#FDE047}\rho g z_1} + {\color{#FDBA74}\frac12 \rho v_1^{\,2}} = {\color{#5EEAD4}P_2}+{\color{#FDE047}\rho g z_2}+ {\color{#FDBA74}\frac12 \rho v_2^{\,2}}$$
Une conservation de l'énergie
Cette relation exprime la conservation de l'énergie volumique d'une particule de fluide :
Cette conservation est valable le long d'une ligne de courant. Mais si l'écoulement est irrotationnel (nulle part dans le fluide, un petit moulinet ne se mettrait à tourner), elle est valable entre deux points quelconques du fluide : on dit que l'écoulement est potentiel.
Fluide au repos ($v_1=v_2=0$)
$$P_1+\rho g z_1 = P_2 + \rho g z_2$$
Écoulement horizontal ($z_1=z_2$)
$$P_1+\frac12\rho v_1^{\,2}=P_2+\frac12\rho v_2^{\,2}$$
À retenir
L'effet Venturi indique que si la vitesse de l'écoulement augmente, alors la pression diminue. Or la conservation du débit volumique nous a appris que si l'écoulement devient plus étroit, sa vitesse augmente.
On en déduit que la pression diminue dans un étranglement.
Animation interactive
Débit, vitesse et pression dans un étranglement
Les particules accélèrent dans l'étranglement (conservation du débit), et le niveau d'eau du tube manométrique central baisse : la pression y est plus faible (effet Venturi). Après l'étranglement, la vitesse et la pression reprennent leurs valeurs d'entrée, puisque le fluide est parfait.
Exemples d'applications
Comment un avion mesure-t-il sa vitesse par rapport à l'air ? Grâce à un petit tube pointé face au vent, inventé par Henri Pitot au XVIIIe siècle pour mesurer la vitesse de l'eau dans les rivières.
Le principe
Le dispositif. Le tube contient deux canaux. Le canal central (en rose) s'ouvre face au vent, en A ; le canal extérieur (en bleu) communique avec l'air par de petits trous latéraux, en B. Chacun est relié à une branche d'un manomètre en U, qui mesure l'écart $P_\mathrm{A} - P_\mathrm{B}$.
En A. Le canal central est fermé à l'autre bout : l'air qui arrive en A ne peut pas y entrer et s'arrête, $v_\mathrm{A} = 0$ (c'est un point d'arrêt). Prenons la ligne de courant qui aboutit en A, et un point O de cette ligne, loin en amont, là où l'air n'est pas encore perturbé par le tube (pression $P_0$, vitesse $v$). Avec la relation de Bernoulli entre O et A, à la même altitude :
$P_0 + \frac12\rho v^2 = P_\mathrm{A} + \frac12\rho\times 0^2 \qquad\text{soit}\qquad P_\mathrm{A} = P_0 + \frac12\rho v^2$
En B. Prenons maintenant une autre ligne de courant, celle qui passe juste au-dessus des trous B, et un point O′ de cette ligne, lui aussi loin en amont. Le tube est fin et aligné avec l'écoulement : le long de ses flancs, l'air a pratiquement retrouvé sa vitesse $v$. Avec la relation de Bernoulli entre O′ et B :
$P_0 + \frac12\rho v^2 = P_\mathrm{B} + \frac12\rho v^2 \qquad\text{soit}\qquad P_\mathrm{B} = P_0$
Pourquoi a-t-on le droit d'utiliser deux lignes de courant différentes ? La relation de Bernoulli ne relie que des points d'une même ligne de courant : c'est pourquoi on l'applique séparément, entre O et A, puis entre O′ et B. Ce qui permet de comparer les résultats, c'est que les deux lignes partent de la même région, loin en amont, où l'écoulement est uniforme : O et O′ y ont la même pression $P_0$, la même vitesse $v$ et (presque) la même altitude. La quantité $P + \rho g z + \frac12\rho v^2$, constante le long de chaque ligne, a donc la même valeur sur les deux lignes.
Conclusion. L'écart mesuré vaut $P_\mathrm{A} - P_\mathrm{B} = \frac12\rho v^2$, d'où la vitesse :
Vitesse mesurée par un tube de Pitot
$$v = \sqrt{\frac{2\,(P_\mathrm{A} - P_\mathrm{B})}{\rho}}$$
Exemple
Au décollage, le tube de Pitot d'un avion de ligne mesure un écart de pression $P_\mathrm{A} - P_\mathrm{B} = \pu{3,8 kPa}$. Quelle est la vitesse de l'avion par rapport à l'air ? On prendra $\rho_\mathrm{air} = \pu{1,2 kg*m-3}$.
$v = \sqrt{\dfrac{2\times 3{,}8\times10^{3}}{1{,}2}} \approx \pu{80 m*s-1}$, soit environ 290 km/h.
C'est bien l'ordre de grandeur de la vitesse de décollage d'un avion de ligne. Remarquez que l'écart de pression reste faible, environ 4 % de la pression atmosphérique : il faut un manomètre sensible.
Un instrument vital
Sans la vitesse par rapport à l'air, les pilotes et les automatismes ne peuvent plus piloter correctement l'avion. C'est pourquoi les avions portent plusieurs tubes de Pitot, chauffés pour éviter qu'ils ne givrent. En 2009, le givrage des sondes Pitot du vol Rio-Paris AF447 a privé l'équipage d'indications de vitesse fiables, ce qui a été l'événement déclencheur de l'accident.