Quand une voiture, une moto ou une ambulance passe devant nous, le son qu'elle émet paraît plus aigu pendant qu'elle approche, puis brusquement plus grave dès qu'elle s'éloigne. Pourtant, pour le conducteur, le son ne change pas.
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Une voiture passe devant vous
Le moteur émet un son de fréquence 500 Hz. Vous êtes au bord de la route ; cochez « avec le son » pour l'entendre (baissez d'abord le volume).
Les pointillés bleu et rose donnent les fréquences perçues quand la voiture arrive de loin et quand elle repart au loin. Plus la voiture est rapide, plus l'écart entre les deux est grand.
Définition
L'effet Doppler correspond au décalage de la fréquence de l'onde reçue par un récepteur lorsque l'émetteur se rapproche ou s'éloigne du récepteur.
Le décalage Doppler $\Delta f$ est lié à la vitesse $v$ de l'émetteur par rapport au récepteur.
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Les crêtes se resserrent devant l'émetteur
Chaque cercle est une crête émise une période plus tôt que la suivante, depuis la position qu'occupait alors l'émetteur. Devant lui, les crêtes s'entassent : la longueur d'onde reçue est plus courte, donc la fréquence plus grande. Derrière, c'est l'inverse.
L'émetteur se rapproche
$$\Delta f = f\times\frac{v}{c-v}$$
L'émetteur s'éloigne
$$\Delta f = -f\times\frac{v}{c+v}$$
Grandeurs et unités
On considèrera qu'on a toujours $v
L'émetteur se rapproche
$\Delta f$ $>$ 0
Le son perçu est plus aigu.
La lumière perçue est plus bleue.
L'émetteur s'éloigne
$\Delta f$ $<$ 0
Le son perçu est plus grave.
La lumière perçue est plus rouge.
Démonstration
On établit l'expression du décalage Doppler $\Delta f = f' - f$ (fréquence reçue moins fréquence émise) pour un récepteur fixe et un émetteur qui se rapproche de lui en ligne droite à la vitesse $v$.
L'émetteur produit une crête toutes les périodes $T = 1/f$. Pendant une période, la crête émise à $t = 0$ parcourt la distance $cT = \lambda$ ; pendant ce temps, l'émetteur, qui la suit, avance de $vT$. Quand il émet la crête suivante, les deux crêtes ne sont donc plus séparées de $\lambda$ mais de :
$\lambda' = cT - vT = (c - v)\,T$
Ces crêtes se propagent ensuite toutes à la célérité $c$ jusqu'au récepteur, qui les reçoit avec la période $T' = \dfrac{\lambda'}{c} = \dfrac{(c-v)\,T}{c}$, soit avec la fréquence :
$f' = \dfrac{1}{T'} = f\times\dfrac{c}{c-v}$
D'où le décalage : $\Delta f = f' - f = f\left(\dfrac{c}{c-v} - 1\right) = f\times\dfrac{v}{c-v}$.
Si l'émetteur s'éloigne, il « fuit » la crête précédente : $\lambda' = (c+v)\,T$, d'où $f' = f\times\dfrac{c}{c+v}$ et $\Delta f = f\left(\dfrac{c}{c+v} - 1\right) = -f\times\dfrac{v}{c+v}$.
En longueur d'onde, les deux formules deviennent : $\lambda' = \lambda\left(1 \pm \dfrac{v}{c}\right)$, avec le signe + quand l'émetteur s'éloigne et le signe − quand il se rapproche. Le décalage relatif vaut donc exactement $\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda} = \pm\dfrac{v}{c}$.
Quand $v \ll c$, on peut négliger $v$ devant $c$ au dénominateur, et les deux formules deviennent : $\Delta f \approx \pm f\,\dfrac{v}{c}$.
C'est presque toujours le cas en pratique : une voiture roule à moins d'un dixième de la vitesse du son, et une étoile se déplace à moins d'un millième de la vitesse de la lumière.
Pour la lumière, ces formules ne valent d'ailleurs qu'aux faibles vitesses : au-delà, il faut tenir compte de la relativité restreinte (hors programme).
Exemple : déterminer une vitesse
La sirène d'une ambulance émet un son de fréquence $f = \pu{680 Hz}$. Pendant qu'elle approche, un piéton perçoit un son de fréquence $\pu{720 Hz}$. Quelle est la vitesse de l'ambulance ? (On prend $c = \pu{340 m*s-1}$.)
L'ambulance se rapproche, donc $\Delta f = f\times\dfrac{v}{c-v}$ avec $\Delta f = 720 - 680 = \pu{40 Hz}$.
On isole $v$ : $\Delta f\,(c - v) = f\,v \iff \Delta f\,c = (f + \Delta f)\,v \iff v = \dfrac{\Delta f\times c}{f + \Delta f}$.
Application numérique : $v = \dfrac{40\times 340}{720} = \pu{19 m*s-1}$, soit environ $\pu{68 km*h-1}$.
Ce que dit le programme
Exemple
Un radar routier émet une onde électromagnétique (souvent de fréquence voisine de $\pu{24 GHz}$) vers les véhicules. L'onde réfléchie par un véhicule en mouvement revient avec une fréquence décalée par effet Doppler : le radar mesure ce décalage et en déduit la vitesse du véhicule.
Pour une voiture à $\pu{90 km*h-1}$, le décalage n'est que de quelques kilohertz, pour une onde de plusieurs dizaines de milliards de hertz !
Lors d'une mesure par réflexion, l'effet Doppler intervient deux fois : la voiture reçoit l'onde en se déplaçant par rapport au radar (récepteur mobile), puis la renvoie en se déplaçant (émetteur mobile). Pour $v \ll c$, le décalage total vaut $\Delta f \approx 2f\,\dfrac{v}{c}$.
Avec $f = \pu{24,125 GHz}$ et $v = \pu{25 m*s-1}$ ($\pu{90 km*h-1}$) : $\Delta f \approx \dfrac{2\times 24{,}125\times 10^{9}\times 25}{3{,}00\times 10^{8}} \approx \pu{4,0 kHz}$. En pratique, le radar vise la route en biais et corrige sa mesure de l'angle entre son faisceau et la trajectoire.
Exemple
Une sonde émet des ultrasons (de quelques mégahertz) dans le corps. Les globules rouges, en mouvement dans les vaisseaux sanguins, renvoient des ultrasons de fréquence décalée : on en déduit la vitesse et le sens de circulation du sang.
Pour des vitesses sanguines de quelques dizaines de centimètres par seconde, le décalage est de l'ordre du kilohertz, c'est-à-dire audible : les appareils le restituent d'ailleurs sous forme de son, le « souffle » caractéristique de cet examen.
L'échographie Doppler est utilisée dans le diagnostic des atteintes des vaisseaux et du cœur :
C'est souvent un examen de première intention : il est relativement peu coûteux et très sensible, en particulier pour le diagnostic des thromboses veineuses profondes.
Exemple
Un radar météorologique envoie des ondes radio qui se réfléchissent sur les gouttes de pluie ou les flocons. L'intensité de l'écho renseigne sur la quantité de précipitations, et son décalage Doppler sur leur vitesse vers le radar ou en s'éloignant de lui.
On peut ainsi suivre le déplacement des nuages d'orage, et repérer les zones où des précipitations proches s'approchent et s'éloignent à la fois du radar : c'est la signature d'une rotation, qui peut annoncer une tornade.
Pour la lumière d'une étoile ou d'une galaxie, on mesure le décalage Doppler sur les raies de son spectre, dont on connaît la position exacte en laboratoire.
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Les raies de l'hydrogène se décalent
Découverte de l'expansion de l'Univers
Découverte de l'expansion de l'univers (loi de Hubble-Lemaître, 1929) : plus une galaxie est lointaine, plus elle s'éloigne vite de nous.
Loi de Hubble-Lemaître
$$v=H_0\times d$$
1 Mpc (mégaparsec) vaut environ 3,3 millions d'années-lumière. Une galaxie située à 100 Mpc s'éloigne donc de nous à environ $\pu{7000 km*s-1}$ : sa raie Hα est observée vers 672 nm.
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Toutes les galaxies s'éloignent… de toutes les autres
Les traits roses représentent les vitesses d'éloignement, proportionnelles aux distances : c'est la loi de Hubble-Lemaître. Quelle que soit la galaxie choisie, on observe la même chose : il n'y a pas de centre de l'expansion, c'est l'espace entre les galaxies qui grandit.
Georges Lemaître avait prédit dès 1927 que les galaxies devaient s'éloigner à une vitesse proportionnelle à leur distance, et en avait donné une première estimation. Edwin Hubble a établi cette relation à partir de ses observations en 1929. Depuis 2018, l'Union astronomique internationale recommande de parler de loi de Hubble-Lemaître.
Pour les galaxies proches, interpréter leur décalage vers le rouge comme un effet Doppler donne le bon résultat. Pour les galaxies très lointaines, c'est plutôt l'expansion de l'espace elle-même qui « étire » la longueur d'onde de la lumière pendant son long voyage : on parle de décalage vers le rouge cosmologique.
On sait mesurer $H_0$ de deux façons indépendantes. La première exploite le fond diffus cosmologique (voir plus bas) et un modèle de l'histoire de l'Univers. La seconde mesure directement les distances et les vitesses de galaxies proches, à l'aide d'étoiles variables (céphéides) et de supernovæ. Au début des années 2020, les deux méthodes donnent des valeurs incompatibles :
L'écart dépasse cinq fois les incertitudes : en physique, on parle de « tension ». Soit l'une des mesures comporte une erreur systématique encore inconnue, soit notre modèle de l'Univers est incomplet. La question est toujours ouverte.
Détection d'exoplanètes
Une planète et son étoile tournent toutes deux autour de leur centre de masse commun. L'étoile décrit donc un petit cercle : elle s'approche puis s'éloigne périodiquement de nous, et les raies de son spectre oscillent autour de leur position moyenne. C'est ainsi qu'a été découverte en 1995, à l'Observatoire de Haute-Provence, la première planète en orbite autour d'une étoile semblable au Soleil, 51 Pegasi b (prix Nobel 2019 pour Michel Mayor et Didier Queloz).
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La danse d'une étoile autour de son centre de masse
Raie Hα de l'étoile, avec un décalage très fortement exagéré (le trait blanc marque sa position au repos).
Pour une étoile semblable au Soleil. Jupiter fait osciller le Soleil à environ 13 m/s, ce qui décale ses raies d'environ trois cent-millièmes de nanomètre ; la Terre ne le fait osciller qu'à 9 cm/s, un effet encore 150 fois plus petit, à la limite des meilleurs spectrographes actuels.
Anisotropie dipolaire du CMB
Le fond diffus cosmologique (CMB, pour cosmic microwave background) est un rayonnement micro-onde qui baigne tout l'Univers, émis environ 380 000 ans après le Big Bang. Il nous parvient de toutes les directions, avec un spectre dont l'intensité est maximale vers 160 GHz.
Pourtant, dans une direction du ciel, toutes ses fréquences sont très légèrement plus élevées que la moyenne, et dans la direction opposée, légèrement plus basses : c'est l'effet Doppler dû à notre propre mouvement à travers ce rayonnement. Cette anisotropie dipolaire permet de savoir dans quelle direction et à quelle vitesse nous nous déplaçons par rapport à lui : environ 370 km/s pour le Soleil, vers la constellation de la Coupe.
Décalage Doppler des fréquences du fond diffus cosmologique dû à notre mouvement (carte de tout le ciel). Comme $v \ll c$, le décalage relatif vaut $\dfrac{\Delta f}{f} \approx \pm\dfrac{v}{c} = \pm\dfrac{370}{300\,000} \approx \pm 1{,}2\times 10^{-3}$ : au maximum du spectre, vers 160 GHz, cela représente un décalage d'environ 0,2 GHz.
Attention
Le CMB définit un référentiel privilégié : celui dans lequel ce rayonnement est le même dans toutes les directions. Ce n'est pas pour autant un référentiel « absolu » au sens où les lois de la physique y seraient différentes : la relativité reste valable. C'est simplement le référentiel au repos par rapport au contenu moyen de l'Univers.
En 1964, Arno Penzias et Robert Wilson, des laboratoires Bell, utilisent une grande antenne cornet à Holmdel (New Jersey), construite pour les premières télécommunications par satellite. Ils l'écoutent à une fréquence de 4,08 GHz (longueur d'onde de 7,35 cm). Après avoir éliminé toutes les sources connues (atmosphère, instrument, sol, Galaxie… et même des fientes de pigeons dans le cornet !), il leur reste un faible bruit radio, identique dans toutes les directions, de jour comme de nuit et en toute saison.
Pourquoi une découverte à 4,08 GHz, si loin du maximum du spectre (vers 160 GHz) ? D'abord parce que Penzias et Wilson ne cherchaient pas le CMB : la fréquence leur était imposée par leur antenne, conçue pour les télécommunications, mais qui était alors le récepteur radio le plus sensible au monde. Ensuite parce que le spectre du CMB est très étalé : il couvre toutes les fréquences, des ondes radio à l'infrarouge lointain. À 4,08 GHz, son intensité est environ 300 fois plus faible qu'à son maximum, mais pas nulle : c'est pour cela qu'ils n'ont perçu qu'un faible bruit.
Enfin, mesurer le CMB près de son maximum depuis le sol est très difficile : dans cette gamme de fréquences, la vapeur d'eau et le dioxygène de l'atmosphère absorbent et émettent eux-mêmes beaucoup de rayonnement. Il a fallu attendre le satellite COBE, en 1990, pour mesurer son spectre complet au-dessus de l'atmosphère (prix Nobel 2006 pour John Mather et George Smoot).
Au même moment, l'équipe de Robert Dicke à Princeton s'apprêtait à chercher ce rayonnement, prédit par la théorie du Big Bang. En apprenant la nouvelle, Dicke aurait lancé à ses collègues : « Les gars, on s'est fait doubler ! » Penzias et Wilson ont reçu le prix Nobel de physique en 1978.
Un spectre de corps noir. Le spectre du fond diffus cosmologique est celui d'un corps noir, comme celui d'un objet chaud (une étoile, un filament de lampe), mais extrêmement froid : sa température vaut 2,725 K. Pour un corps noir, la forme du spectre ne dépend que de la température, et la fréquence du maximum lui est proportionnelle : plus le corps est chaud, plus son spectre est décalé vers les hautes fréquences.
Le lien avec l'effet Doppler. Dans la direction de notre mouvement, l'effet Doppler multiplie toutes les fréquences reçues par un même facteur, légèrement supérieur à 1. Le spectre garde donc exactement sa forme de corps noir, mais il est décalé vers les hautes fréquences : c'est celui d'un corps noir un peu plus chaud. Dans la direction opposée ($\Delta f < 0$), il ressemble à celui d'un corps noir un peu plus froid.
C'est pourquoi les cartes du CMB sont graduées en températures : un décalage relatif de $\pm 1{,}2\times 10^{-3}$ sur les fréquences correspond à un écart de température de $\pm 1{,}2\times 10^{-3}\times \pu{2,725 K} \approx \pm 3{,}4$ millièmes de kelvin. Une fois ce dipôle retiré, le CMB est uniforme sur tout le ciel à environ 1 partie sur 25 000 près : ses minuscules fluctuations restantes sont les germes des futures galaxies.
Un piège classique. Quand on trace l'intensité en fonction de la longueur d'onde, le maximum est vers 1 mm ; en fonction de la fréquence, il est vers 160 GHz. Or $c/(\pu{1 mm}) \approx \pu{300 GHz}$ : on ne passe pas d'un maximum à l'autre avec $f = c/\lambda$, car la répartition de l'énergie « par nanomètre » et « par hertz » n'est pas la même.
Anomalie des courbes de rotation des galaxies
En mesurant le décalage Doppler de différents nuages d'hydrogène dans la galaxie d'Andromède (puis dans d'autres galaxies), Vera Rubin montre à la fin des années 60 que les objets éloignés du centre galactique ne tournent pas à la vitesse prévue par Kepler.
D'un côté de la galaxie, les nuages s'approchent de nous ; de l'autre, ils s'éloignent : le décalage Doppler donne leur vitesse de rotation à chaque distance du centre.
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Une galaxie qui tourne trop vite
Courbes d'allure typique pour une grande galaxie spirale (1 kpc ≈ 3 260 années-lumière).
À retenir
Une explication populaire parmi les astrophysiciens serait la présence d'un halo de matière noire.
Les nuages observés par Vera Rubin et Kent Ford sont des régions H II : de l'hydrogène ionisé par le rayonnement ultraviolet d'étoiles très chaudes. Ils émettent la raie Hα, ce qui permet de mesurer leur décalage Doppler un par un.
La matière noire n'a jamais été détectée directement : on ne connaît que ses effets gravitationnels. Certains physiciens explorent une autre piste, qui consiste à modifier les lois de la gravitation aux très faibles accélérations (théorie MOND). La question reste débattue.