Question
Quels indices expérimentaux témoignent-ils de la nature ondulatoire d'un phénomène ?
Diffraction au quotidien
La houle qui entre dans une crique par une passe étroite s'étale ensuite en arcs de cercle et atteint toute la plage, y compris les zones abritées derrière les rochers.
Interférences au quotidien
Les reflets irisés d'un CD, d'une bulle de savon ou d'une tache de carburant sur le bitume mouillé, les couleurs de la nacre, des plumes de paon, des ailes de certains papillons ou des écailles du boa arc-en-ciel sont dus à des interférences.
Définition
La diffraction d'une onde correspond à l'étalement des directions de propagation lorsque l'onde rencontre un obstacle ou une ouverture.
À retenir
L'étalement est d'autant plus marqué que l'obstacle ou l'ouverture sont petits.
La fréquence $f$ et la célérité $c$ de l'onde, et donc sa longueur d'onde $\lambda=c/f$ sont conservées.
Animation interactive
Une cuve à ondes vue de dessus
Les pointillés blancs marquent l'ombre géométrique, c'est-à-dire là où l'onde s'arrêterait si elle se propageait en ligne droite. Quand $a/\lambda$ devient proche de 1, l'onde s'étale dans presque toutes les directions ; quand $a/\lambda$ est grand, elle continue presque tout droit.
À retenir
Le phénomène de diffraction est nettement observé lorsque la taille caractéristique $a$ de l'obstacle ou de l'ouverture est du même ordre de grandeur que la longueur d'onde $\lambda$ de l'onde.
Dans le cas d'ondes lumineuses, le critère est moins restrictif et le phénomène est encore apparent pour des tailles $a$ jusqu'à 100 fois plus grandes que $\lambda$.
Définition
La diffraction est caractérisée par un angle de diffraction défini comme l'angle entre la direction de propagation sans diffraction et la direction définie par le milieu de la « première extinction ».
Montage vu de dessus : la fente, de largeur $a$, est verticale ; la lumière s'étale horizontalement sur l'écran placé à la distance $D$. La courbe verte représente l'intensité lumineuse le long de l'écran.
Dans le cas de la diffraction d'une onde lumineuse monochromatique de longueur d'onde $\lambda$ (produite par un laser) par une fente rectangulaire de largeur $a$, l'angle caractéristique de diffraction $\theta$ est donné par :
Formule
$$\theta\approx\frac{\lambda}{a}$$
À retenir
Question
Dans l'approximation des petits angles ($\theta\ll 1$), exprimer la taille de la tache centrale $L$ en fonction de $\lambda$, $D$ et $a$.
Formule
$$L\approx \frac{2\lambda D}{a}$$
Démonstration
Dans le triangle rectangle formé par la fente, le centre de la tache et le bord de la tache centrale :
$\tan\theta = \dfrac{L/2}{D}$
Or d'après l'approximation des petits angles : $\tan\theta \approx \theta$ (⚠️ valable uniquement en radians). D'où :
$\theta\approx \dfrac{L}{2D}$
Et comme $\theta\approx\dfrac{\lambda}{a}$, on obtient finalement : $\dfrac\lambda a \approx \dfrac{L}{2D} \;\Rightarrow\; L \approx \dfrac{2\lambda D}{a}$.
Pour $\theta = \pu{0,10 rad}$ (environ 6°), $\tan\theta = 0{,}1003$ : l'erreur commise en remplaçant $\tan\theta$ par $\theta$ est de 0,3 %. Pour $\theta = \pu{0,30 rad}$ (environ 17°), elle atteint déjà 3 %. En diffraction de la lumière, $\theta$ vaut typiquement quelques milliradians : l'approximation est excellente.
Elle n'est valable qu'en radians, car c'est dans cette unité que la courbe de $\tan$ « colle » à la droite $y = \theta$ au voisinage de 0. En degrés, $\tan(5°) \approx 0{,}087$, qui n'a rien à voir avec 5.
Animation interactive
Diffraction d'un laser par une fente
Vérifiez sur la courbe que la largeur $L$ de la tache centrale suit bien la formule, et repérez les deux sens de variation : $a$ plus petit ou $\lambda$ plus grand, et la tache s'élargit.
Exemples de conséquences concrètes
L'onde diffractée peut atteindre des endroits qui seraient inaccessibles sans l'étalement des directions de propagation.
Un son diffracté par l'entrebâillement d'une porte peut ainsi être entendu dans toute la pièce et un bateau peut subir la houle même à l'abri d'une digue.
À retenir
La figure de diffraction nous renseigne sur la forme géométrique de l'obstacle qu'a rencontré l'onde !
Animation interactive
À chaque forme d'ouverture sa figure de diffraction
La figure de diffraction est calculée à partir de la forme de l'ouverture : plus l'ouverture est grande, plus la figure est petite (la taille de Webb est fixe). Regarder une lampe à travers l'écran allumé d'un téléphone donne une figure en croix due à la grille des pixels.
Un grand nombre de structures de protéines ont ainsi été déterminées par diffraction (on cristallise d'abord la protéine puis on envoie le rayonnement dans le cristal).
Question
Dans un cristal de protéine, les atomes sont espacés d'environ $\pu{0,1 nm}$. Quel doit être l'ordre de grandeur de la longueur d'onde à utiliser ? À quelle partie du spectre électromagnétique appartient le rayonnement ?
Pour que la diffraction soit nette, la longueur d'onde doit être du même ordre de grandeur que la taille des « obstacles », ici les distances entre atomes : $\lambda \sim \pu{1E-10 m}$. D'après le spectre, il s'agit de rayons X.
Exemple historique
C'est une diffraction aux rayons X qui a permis de découvrir (grâce à Rosalind Franklin) la structure en double hélice de l'ADN.
Le cliché. En 1952, au King's College de Londres, Rosalind Franklin et son doctorant Raymond Gosling envoient des rayons X sur une fibre d'ADN et enregistrent la figure de diffraction obtenue. L'un de ces clichés, la « photo 51 », est devenu l'une des images les plus célèbres de l'histoire des sciences.
Ce qu'il révèle. On y voit un motif en forme de X : c'est la signature d'une molécule en forme d'hélice. Les écarts entre les taches permettent même de calculer certaines dimensions de cette hélice. Franklin avait d'ailleurs envisagé une structure hélicoïdale avant Watson et Crick.
Le rôle de Watson et Crick. Début 1953, sans que Franklin le sache, son collègue Maurice Wilkins montre le cliché à James Watson. Avec Francis Crick, il s'en sert pour construire le modèle de la double hélice, publié la même année.
Le Nobel. En 1962, Watson, Crick et Wilkins reçoivent le prix Nobel de médecine. Rosalind Franklin, morte d'un cancer en 1958 à 37 ans, ne pouvait plus être récompensée : le prix Nobel n'est pas attribué à titre posthume.
À retenir
La tache de diffraction correspondant à l'ouverture d'un télescope ou d'une lunette donne la résolution ultime atteignable par l'appareil.
$\Rightarrow$ Plus l'ouverture est large, meilleure est la résolution.
Animation interactive
Séparer deux étoiles proches
Deux étoiles séparées d'une seconde d'arc (1/3600 de degré) sont observées en lumière verte ($\lambda = \pu{550 nm}$).
Pour une ouverture circulaire de diamètre $D$, le rayon angulaire de la tache centrale vaut $1{,}22\,\lambda/D$ : c'est l'équivalent de $\theta \approx \lambda/a$, avec un facteur 1,22 dû à la forme circulaire (hors programme).
À retenir
Lorsque deux ondes se rencontrent en un point, leurs amplitudes en ce point s'additionnent.
Il n'y a pas d'interaction, chaque onde évoluant indépendamment l'une de l'autre, mais il y a superposition des perturbations.
Conditions d'observation
En phase
Deux signaux sont dits en phase s'ils coïncident (les extrema se correspondent).
Si en un point, les signaux des deux ondes sont en phase, on dit que l'interférence est constructive.
En opposition de phase
Deux signaux sont dits en opposition de phase si les maxima de l'un correspondent aux minima de l'autre (il y a un déphasage de π ou 180°).
Si en un point, les signaux des deux ondes sont en opposition de phase, on dit que l'interférence est destructive.
Animation interactive
Deux ondes en un même point
Supposons que les oscillations issues de deux sources S1 et S2 soient en phase. Un récepteur est placé en un point M.
L'onde issue de S1 parcourt donc une distance $\color{#2A6BC4}\mathrm{S_1M}$ et celle issue de S2 parcourt une distance $\color{#E11D48}\mathrm{S_2M}$.
Définition
Appelons enfin $\color{#047857}\delta$ la différence entre ces deux distances. On appelle $\color{#047857}\delta$ la différence de marche : ${\color{#047857}\delta}=\mathrm{{\color{#E11D48}S_2M}-{\color{#2A6BC4}S_1M}}$.
En reportant la longueur $\mathrm{S_1M}$ sur le segment $[\mathrm{S_2M}]$ à partir de M (arc en pointillés), on voit apparaître le chemin supplémentaire $\delta$ parcouru par l'onde issue de $\mathrm{S_2}$.
La condition pour observer une interférence constructive en M est que la différence entre les distances parcourues sur chacun des chemins (${\color{#047857}\delta}=\mathrm{{\color{#E11D48}S_2M}-{\color{#2A6BC4}S_1M}}$) induise un déphasage valant un multiple de 2π.
On en déduit la condition pour obtenir en un point une interférence constructive :
Interférence constructive
$$\frac{\delta}{\lambda} = k \;,\; k\in\mathbb{Z}$$
Et pour des interférences destructives, il faut :
Interférence destructive
$$\frac{\delta}{\lambda} = \left(k+\frac12\right) \;,\; k\in \mathbb{Z}$$
Une onde parcourt une longueur d'onde $\lambda$ pendant une période $T$. Le chemin supplémentaire $\delta$ fait donc arriver l'onde issue de $\mathrm{S_2}$ avec un retard de $\dfrac{\delta}{\lambda}$ périodes, ce qui correspond à un déphasage $2\pi\times\dfrac{\delta}{\lambda}$.
Constructive : $2\pi\times \dfrac{\delta}{\lambda}= k\times 2\pi \iff \dfrac{\delta}{\lambda} = k\;,\; k\in\mathbb{Z}$.
Destructive : $2\pi\dfrac{\delta}{\lambda}=\pi + k\times 2\pi =2\pi\times\left(k+\dfrac{1}{2}\right) \iff \dfrac{\delta}{\lambda} = k+\dfrac12\;,\; k\in\mathbb{Z}$.
Définition
L'entier $k$ est appelé ordre d'interférence.
Animation interactive
Deux sources dans une cuve à ondes
Faites glisser le point M (ou cliquez dans la cuve, puis utilisez les flèches du clavier).
« Amplitude des oscillations » affiche une image figée : zones claires = fortes oscillations (constructive), zones sombres = eau quasi immobile (destructive). Les lignes vertes correspondent à $\delta/\lambda$ entier, les lignes roses à $\delta/\lambda$ demi-entier.
Dans le cas de l'expérience optique des trous d'Young (ou des fentes d'Young), les deux trous éclairés par la source lumineuse agissent ensuite comme deux sources synchrones et cohérentes séparées d'une distance $a$.
Définition
On doit maintenant prendre en compte l'éventuel ralentissement de la lumière dans un milieu d'indice optique $n$, la différence de distance $\mathrm{S_2M-S_1M}$ prend alors le nom de différence de chemin optique : $\mathrm{[S_2M]-[S_1M]}=n\times(\mathrm{S_2M-S_1M})$.
Attention
Ici, $a$ désigne la distance entre les deux trous, et non plus la largeur d'une fente comme dans la partie sur la diffraction.
Si la distance $D$ entre les trous et l'écran est telle que $D\gg a$, alors la différence de chemin optique en un point de l'écran d'abscisse $x$ est approximée par :
Expression donnée
$$\delta=\frac{nax}{D}$$
Question
En déduire l'abscisse $x_k$ sur l'écran où apparaît la $k$e frange brillante. Et pour les franges sombres ?
Démonstration
D'après la condition d'interférence constructive :
$\delta = k\lambda\quad \text{avec } k\in\mathbb{Z} \iff \dfrac{nax_k}{D} = k\lambda \;\Rightarrow\; x_k=\dfrac{k\lambda D}{na}$
Et pour les franges sombres, d'après la condition d'interférence destructive :
$\delta = \left(k+\dfrac12\right)\lambda \;\Rightarrow\; x'_k=\dfrac{\left(k+\frac12\right)\lambda D}{na}$
Définition
L'interfrange $i$ sur l'écran est définie comme la distance entre le centre de deux franges brillantes (ou de deux franges sombres) consécutives.
Démonstration
Établir l'expression de l'interfrange $i$ :
$\begin{aligned}i &= x_{k+1}-x_k\\ &=\frac{(k+1)\lambda D}{na}-\frac{k\lambda D}{na}\\ &=\frac{\lambda D}{na}\end{aligned}$
Formule
$$i=\frac{\lambda D}{na}$$
À retenir
Animation interactive
Les franges d'Young
Le trait ambré sous la courbe mesure l'interfrange entre les franges d'ordre 0 et 1. En cochant la case, les franges sont modulées par la figure de diffraction de chaque trou : c'est ce qu'on observe réellement.
Ce que dit le programme
Casques et écouteurs à réduction de bruit active
Un microphone capte le bruit ambiant ; l'électronique du casque émet aussitôt dans l'écouteur un signal de même forme mais en opposition de phase. Les deux ondes interfèrent de façon destructive au niveau de l'oreille : le bruit est fortement atténué.
Couleurs interférentielles
Les reflets métalliques et changeants (irisations) de certains oiseaux, comme l'ibis chauve, proviennent du très faible écartement des barbules de leurs plumes : la lumière réfléchie par ces structures interfère, et la couleur renforcée dépend de l'angle d'observation.
Une bulle de savon est une couche d'eau savonneuse de quelques centaines de nanomètres d'épaisseur. La lumière se réfléchit en partie sur sa face extérieure, en partie sur sa face intérieure : les deux ondes réfléchies ont parcouru des chemins différents et interfèrent.
Selon l'épaisseur locale de la couche, certaines longueurs d'onde (donc certaines couleurs) interfèrent de façon constructive, d'autres de façon destructive : d'où les bandes colorées qui bougent quand l'épaisseur varie. C'est le même phénomène pour les taches de carburant sur le bitume mouillé.
Interférométrie
Utilisée en astronomie, métrologie, océanographie, séismologie, etc. (cf. exercice « interférométrie et volcan »), et dans de nombreuses expériences scientifiques (comme celle de Michelson et Morley à la fin du 19e siècle).
Grâce à l'interférométrie, un réseau de télescopes ou radiotélescopes atteint une résolution équivalente à celle d'un miroir (ou radiotélescope) de diamètre équivalent à l'écart entre les instruments combinés. Par exemple, les 27 antennes de 25 m du Very Large Array (Nouveau-Mexique), réparties sur une trentaine de kilomètres, ont la résolution d'une antenne unique de cette taille.
Ondes gravitationnelles
La détection des ondes gravitationnelles utilise aussi l'interférométrie (cf. exercice « interféromètre gravitationnel »).
La première détection date de septembre 2015 (annoncée en février 2016) et elle s'est faite grâce à un interféromètre ayant des bras de 4 km de long ! En Europe, l'interféromètre Virgo, près de Pise, possède des bras de 3 km.
Enfin, si on décale légèrement la fréquence des sources, on observe non plus seulement des franges dans l'espace mais aussi dans le temps.
Définition
On les appelle battements. On les utilise par exemple pour accorder les instruments.
Animation interactive
Accorder deux diapasons
Le premier son est un la à 440 Hz ; réglez la fréquence du second et écoutez le résultat (baissez d'abord le volume).
Le son résultant enfle et faiblit périodiquement. Quand les deux fréquences deviennent égales, les battements disparaissent : l'instrument est accordé.
Remarque : un battement visuel
Sur le graphique ci-dessus, de petits fuseaux apparaissent à l'intérieur de l'enveloppe : ils n'existent pas dans le son ! Pour représenter 440 oscillations par seconde, l'écran ne dispose que d'un nombre limité de colonnes de pixels : le signal n'est « relevé » qu'à intervalles réguliers. La fréquence du signal « bat » alors avec la fréquence de ces relevés, et un motif lent apparaît. C'est le repliement de spectre (aliasing en anglais) : redimensionnez la fenêtre, et ces fuseaux changent de forme, alors que les vrais battements restent les mêmes.
C'est le même phénomène qui fait tourner à l'envers les roues d'une voiture filmée, ou qui fait apparaître des motifs ondulés (le moiré) quand on photographie un écran ou une chemise rayée. Le moiré est un battement dans l'espace : deux réseaux de traits de pas voisins se superposent.
Animation interactive
Le moiré, des battements dans l'espace
Là où les traits des deux réseaux coïncident, la lumière passe (bandes claires) ; là où ils s'intercalent, ils bouchent tout (bandes sombres). Plus les deux pas sont proches, plus le motif est grand : exactement comme les battements, dont la période augmente quand les deux fréquences se rapprochent.
Les deux signaux passent alternativement d'en phase (son fort) à opposition de phase (son faible). Le nombre de battements par seconde est égal à l'écart des deux fréquences :
$f_{\text{batt}} = \left|f_1 - f_2\right|$
Avec $f_1 = \pu{440 Hz}$ et $f_2 = \pu{443 Hz}$, on entend 3 battements par seconde.