Une voiture qui démarre, une balle lancée, la Lune autour de la Terre… Pour décrire un mouvement sans ambiguïté, il faut répondre à trois questions : qu'est-ce qui bouge (le système), par rapport à quoi (le référentiel) et comment (la trajectoire et la vitesse). Ce chapitre introduit pour cela un outil nouveau et très puissant : le vecteur vitesse.
Définition
En physique, un système est l'objet ou l'ensemble d'objets étudiés.
Définir un système correspond donc à tracer une frontière entre ce qui nous intéresse et son environnement.
Exemples
Une balle, un marteau, une voiture, la Lune, le système solaire…
Selon le système étudié, les distances et les durées utiles pour décrire son mouvement sont très différentes : ce sont ses échelles caractéristiques. On choisit les unités en conséquence.
| système | échelle des distances | échelle des durées |
|---|---|---|
| une fourmi qui se promène | quelques centimètres | quelques secondes |
| un sprinteur sur 100 m | 100 m | 10 s |
| une voiture sur l'autoroute | des dizaines de kilomètres | des heures |
| la Lune autour de la Terre | 380 000 km | 27 jours |
| la Terre autour du Soleil | 150 millions de km | 1 an |
Une fois qu'on a défini le système, il manque encore quelque chose d'important pour pouvoir décrire son mouvement… le référentiel !
Vous êtes assis dans un train à quai, et le train voisin se met en mouvement : pendant un instant, impossible de savoir lequel des deux trains bouge. Qui bouge ? Et par rapport à qui ?
Animation
Assis dans le train, en gare… qui bouge ?
Vous êtes assis dans un train, en gare. Par la fenêtre, vous ne voyez que le train d’à côté, qui masque tout le reste. Regardez-le bien.
Lancez l’observation.
Pour décrire un mouvement de manière non ambiguë, il faut donc préciser par rapport à quoi on l'observe.
Définition
Pour décrire un mouvement de manière non ambiguë, il faut se placer dans un référentiel : c'est l'objet de référence par rapport auquel on observe le mouvement, en quelque sorte l'observateur.
On le munit d'un repère spatial, qui se déplace avec l'observateur, et d'un repère temporel (une horloge).
Exemples de référentiels
À retenir
Un passager immobile par rapport au train n'est pas immobile dans le référentiel terrestre si le train avance… Le mouvement est relatif : sa description dépend du référentiel choisi.
Un parachutiste saute d’un avion en même temps qu’un caméraman, qui le filme en tombant à côté de lui. Sur la vidéo, au moment où le parachute s’ouvre, le parachutiste semble filer vers le haut.
Question
Est-ce que le parachutiste remonte lorsqu'il ouvre son parachute ?
La question est mal posée, car ambiguë : par rapport à qui est-il censé remonter ? Une meilleure question serait : dans quel référentiel le parachutiste remonte-t-il ?
Dans le référentiel du caméraman, qui continue de tomber à grande vitesse, le parachutiste remonte bel et bien. Mais dans le référentiel terrestre, il continue de descendre, simplement beaucoup moins vite qu'avant : il ne remonte jamais.
Animation
Le saut vu par deux observateurs
Les deux sauteurs tombent ensemble. Ouvrez le parachute quand vous voulez.
Énigme
Un bateau remonte une rivière et dépasse un radeau qui dérive au fil de l'eau. Une demi-heure après avoir dépassé le radeau, le bateau fait demi-tour. Il recroise le radeau 3 km en aval du premier croisement.
On suppose que le bateau avance à vitesse constante par rapport à l'eau de la rivière. Quelle est la vitesse du courant ?
Animation
Le bateau et le radeau
Essayez d'abord de résoudre l'énigme… puis observez la scène depuis le radeau.
Dans le référentiel terrestre, le calcul est pénible : le bateau ne va pas à la même vitesse en remontant et en descendant le courant. Plaçons-nous plutôt dans le référentiel de l'eau, où le radeau est immobile.
Dans ce référentiel, le bateau s'éloigne du radeau pendant 30 minutes, puis revient vers lui à la même vitesse : il met donc aussi 30 minutes pour le rejoindre. Les deux croisements sont séparés d'une heure.
Pendant cette heure, le radeau, qui suit le courant, a parcouru 3 km par rapport à la berge. La vitesse du courant est donc $v = \dfrac{\pu{3 km}}{\pu{1 h}} = \pu{3 km/h}$, quelle que soit la vitesse du bateau.
Une fois qu'on a choisi le système et le référentiel, il nous reste à décrire le mouvement. Pour cela, on a besoin de sa trajectoire et de sa vitesse.
Définition
La trajectoire d'un point, dans un référentiel d'étude donné, correspond à la courbe formée par l'ensemble des positions successivement occupées par ce point au cours de son mouvement.
Exemple
Les fumigènes d'un avion de voltige laissent dans le ciel une traînée de fumée qui matérialise la trajectoire de l'avion dans le référentiel terrestre. Un deuxième avion qui volerait à côté de lui, exactement à la même vitesse, le verrait immobile : dans son référentiel, la trajectoire se réduirait à un point.
Pour un système étendu, chacun de ses points a sa propre trajectoire. On distingue deux types de mouvements particuliers.
Définitions
Dans un mouvement de translation, tous les points du système ont des trajectoires identiques (superposables) : le système se déplace sans tourner sur lui-même.
Dans un mouvement de rotation autour d'un axe fixe, tous les points du système (sauf ceux situés sur l'axe) ont pour trajectoire un cercle centré sur l'axe.
Animation
Translation, rotation… ou les deux ?
Remarque
Une translation n'est pas forcément rectiligne ! La nacelle d'une grande roue reste toujours horizontale : tous ses points décrivent des cercles identiques, décalés les uns des autres, et pourtant elle ne tourne pas sur elle-même. C'est une translation circulaire, et non une rotation.
La plupart des mouvements sont une combinaison des deux : une translation d'ensemble et une rotation propre. Pour un objet libre, lancé dans l'air par exemple, cette rotation se fait autour d'un point précis : le centre de masse du système (en revanche, une porte ou une roue fixée à un axe tourne autour de cet axe).
Le centre de masse est ainsi le point du système qui a la trajectoire la plus simple : c'est celle que tous les autres points auraient si le mouvement était une pure translation. Dans le lancer de marteau ci-dessus, le centre de masse décrit une simple parabole, alors que le bout du manche décrit une courbe bien plus compliquée.
À retenir
Pour simplifier, on réduit souvent le système étudié à un point, en général son centre de masse. Mais on perd alors l'information sur sa rotation (et sur sa forme) : c'est le prix à payer pour la simplicité.
Dorénavant, on étudiera surtout des systèmes réduits à un point.
Définitions
La trajectoire d'un point est dite :
Chronophotographies de trois mouvements : les croix marquent les positions successives du point étudié, à intervalles de temps égaux.
La vitesse est un élément essentiel de la description d'un mouvement. Mais plutôt que de se contenter de sa seule valeur (« 50 km/h »), ne pourrait-on pas aussi indiquer dans quelle direction et dans quel sens se fait le mouvement ? On introduit alors le vecteur vitesse.
Un vecteur est un objet mathématique qui se représente par une flèche. Il réunit en un seul objet trois informations.
Définition
Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, représenté par une flèche allant du point A au point B, est caractérisé par :
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme, même s'ils ne partent pas du même point.
Animation
Direction, sens, norme
Faites glisser les extrémités des flèches (les points ronds) et comparez les deux vecteurs.
Pour définir le vecteur vitesse, on a d'abord besoin du vecteur déplacement.
Définition
Si un point mobile passe par la position M, puis par la position M' un peu plus tard, son vecteur déplacement entre ces deux instants est le vecteur ${\color{#00957C}{\overrightarrow{\mathrm{MM'}}}}$, qui va de la position de départ M à la position d'arrivée M'.
Le vecteur déplacement ne dit rien du chemin suivi entre M et M' (en pointillés) : il ne retient que le point de départ et le point d'arrivée.
Formule
${\color{#FFD166}{\vec{v}_{\text{moy}}}} = \dfrac{{\color{#5EEAD4}{\overrightarrow{\mathrm{MM'}}}}}{\Delta t}$
Définition
Le vecteur vitesse moyenne ${\color{#C98A00}{\vec{v}_{\text{moy}}}}$ entre M et M' est donc défini comme le vecteur :
Diviser un vecteur par un nombre positif (ici $\Delta t$) ne change ni sa direction ni son sens : cela ne change que sa longueur. C'est pourquoi le vecteur vitesse moyenne « pointe » exactement comme le vecteur déplacement.
À retenir
Dans le Système international d'unités (SI) : MM' est mesuré en mètres (m), $\Delta t$ en secondes (s), et donc $v_{\text{moy}}$ s'exprime en mètres par seconde ($\pu{m*s-1}$, que l'on écrit aussi m/s).
Attention
MM' est la distance en ligne droite entre M et M'. Si la trajectoire est courbe, elle est plus petite que la distance réellement parcourue le long de la trajectoire. Les deux sont presque égales lorsque M' est très proche de M : c'est pourquoi on choisira toujours des positions M et M' très voisines.
En pratique, on étudie le mouvement sur une chronophotographie (ou sur une vidéo image par image) : les positions successives du point étudié, enregistrées à intervalles de temps égaux $\Delta t$.
Méthode
Pour tracer le vecteur vitesse au point M d'une chronophotographie :
Repérer la position suivante M' et tracer le vecteur déplacement $\overrightarrow{\mathrm{MM'}}$.
Mesurer la longueur MM' sur le document (en cm), puis la convertir en mètres grâce à l'échelle des distances.
Calculer la vitesse : $v = \dfrac{\mathrm{MM'}}{\Delta t}$, avec MM' en m et $\Delta t$ en s.
Convertir cette vitesse en longueur de flèche grâce à l'échelle des vitesses.
Tracer, à partir du point M, la flèche du vecteur vitesse : même direction et même sens que $\overrightarrow{\mathrm{MM'}}$, et la longueur calculée.
Animation pas à pas
Construire un vecteur vitesse, étape par étape
Entraînement
À vous de tracer des vecteurs vitesse
Problème : le vecteur vitesse moyenne entre M et M' ne dit pas grand-chose de la vitesse au point M à l'instant $t$, surtout si M' est loin de M et que la trajectoire fait des détours entre les deux. Comment améliorer la définition pour avoir accès à la vitesse au point M ?
Animation
Rapprocher M' de M
Définition
Pour passer du vecteur vitesse moyenne entre M et M' au vecteur vitesse en M, noté ${\color{#C98A00}{\vec{v}}}$, on rapproche le plus possible M' de M le long de la trajectoire (on fait tendre $\Delta t$ vers 0).
Le vecteur vitesse en M est alors tangent à la trajectoire en M, orienté dans le sens du mouvement, et sa norme est la vitesse du point à cet instant.
À retenir
Sur une chronophotographie, on approche le vecteur vitesse au point $\mathrm{M}_i$ par le vecteur vitesse moyenne entre $\mathrm{M}_i$ et la position suivante $\mathrm{M}_{i+1}$ :
${\color{#9A6700}{\vec{v}_i}} \approx \dfrac{{\color{#00806A}{\overrightarrow{\mathrm{M}_i\mathrm{M}_{i+1}}}}}{\Delta t}$
L'approximation est d'autant meilleure que $\Delta t$ est petit.
Définitions
Si la vitesse $v$ est constante le long de la trajectoire, le mouvement est dit uniforme. Sinon, il est accéléré (la vitesse augmente) ou ralenti (la vitesse diminue).
Si le mouvement est rectiligne, le vecteur vitesse garde toujours la même direction, celle de la droite trajectoire. S'il est en plus uniforme, le vecteur vitesse est constant : même direction, même sens et même norme à tout instant.
Animation
Lire une chronophotographie
À retenir : décrire la variation du vecteur vitesse
Quiz
Quel est ce mouvement ?
Un programme peut faire tout le travail : à partir des coordonnées $(x, y)$ des positions successives, relevées par exemple sur une vidéo, il calcule les vecteurs vitesse et les trace. Lancez-le avec ▶, puis modifiez les positions ou la durée dt et relancez.
Le vecteur vitesse au point $\mathrm{M}_i$ a pour coordonnées $v_x = \dfrac{x_{i+1} - x_i}{\Delta t}$ et $v_y = \dfrac{y_{i+1} - y_i}{\Delta t}$ : c'est exactement la relation ${\vec{v}_i} \approx \dfrac{\overrightarrow{\mathrm{M}_i\mathrm{M}_{i+1}}}{\Delta t}$, écrite coordonnée par coordonnée.
Un rebondeur saute sur un trampoline installé sur une remorque, tirée à vitesse constante par un tracteur. Il monte et redescend… et retombe toujours sur le trampoline, alors que la remorque a avancé pendant son saut.
Questions
Quelle est la trajectoire du rebondeur dans le référentiel du tracteur ? Et dans le référentiel terrestre ?
Que peut-on dire de la composante horizontale de sa vitesse (la vitesse de son ombre sur le sol) dans ces deux référentiels ?
Dans le référentiel du tracteur, le rebondeur monte et redescend à la verticale, toujours au-dessus du même endroit du trampoline : sa trajectoire est un segment de droite vertical, parcouru dans un sens puis dans l'autre.
Dans le référentiel terrestre, il avance en même temps que la remorque : sa trajectoire est une succession d'arches (des paraboles).
La composante horizontale de sa vitesse, celle de son ombre, est nulle dans le référentiel du tracteur, et égale à la vitesse du tracteur dans le référentiel terrestre. Elle reste constante pendant tout le saut : une fois en l'air, rien ne freine ni ne pousse horizontalement le rebondeur, il continue simplement d'avancer à la vitesse qu'il avait au départ. C'est pourquoi il retombe toujours sur le trampoline.
Animation
Une balle qui rebondit sur une remorque
Autre expérience, encore plus surprenante : un pick-up roule à 50 km/h. À l’arrière, un canon horizontal tire un ballon de football vers l’arrière, à 50 km/h par rapport au pick-up.
Questions
Quelle est la vitesse horizontale du ballon dans le référentiel terrestre, juste après le tir ? Quelle est alors sa trajectoire dans le référentiel terrestre ? Et dans le référentiel du pick-up ?
Par rapport au sol, le ballon avance à 50 km/h avec le pick-up, mais il est tiré vers l’arrière à 50 km/h par rapport au pick-up : les deux se compensent. Dans le référentiel terrestre, le ballon sort du canon sans vitesse horizontale : il tombe verticalement, exactement comme si on le lâchait d’un pont, pendant que le pick-up s’éloigne.
Dans le référentiel du pick-up, en revanche, le ballon part vers l’arrière à 50 km/h en tombant : sa trajectoire est une courbe (une parabole) qui s’éloigne du véhicule.
Animation
Le ballon tiré vers l’arrière
À retenir
La trajectoire et le vecteur vitesse d'un système dépendent du référentiel choisi pour l'observer.
Pour finir, un quiz qui balaie tout le chapitre : les questions sont mélangées à chaque essai, et chaque réponse est expliquée.
Quiz
Testez-vous sur tout le chapitre