Chaque point d'un arbre éclairé renvoie de la lumière dans toutes les directions. Comment, à partir de ce fouillis de rayons, obtenir une image nette de l'arbre sur un écran, sur un capteur d'appareil photo ou sur la rétine ? Ce chapitre montre comment une lentille convergente forme des images, comment on les construit, et comment fonctionne l'œil.
Chaque point éclairé d'un objet, comme un arbre au soleil, diffuse de la lumière dans toutes les directions. Si l'on place un écran blanc devant l'arbre, chaque point de l'écran reçoit de la lumière venue de tous les points de l'arbre : les contributions se mélangent, et l'écran est simplement éclairé, sans aucune image.
Définition
Former l'image d'un objet, c'est faire correspondre à chaque point objet un point image, et un seul. On appelle stigmatisme la capacité d'un système optique à réaliser cette correspondance : un point pour un point.
Une image est donc faite de points, comme un tableau pointilliste de Seurat ou les pixels d'un écran. Mais un écran blanc, lui, n'émet pas de lumière : il faut qu'il reçoive, en chaque point image, la lumière venue d'un seul point de l'objet. Comment trier ainsi les rayons qui divergent depuis chaque point ?
Animation
Un arbre, un écran… et entre les deux ?
Plaçons entre l'objet et l'écran une plaque opaque percée d'un petit trou. De chaque point objet, un seul mince pinceau de lumière passe par le trou, et atteint l'écran en un seul endroit : on obtient bien, à chaque point objet, un point image. L'image est renversée, puisque les rayons se croisent dans le trou.
C'est le principe du sténopé, ancêtre de l'appareil photo. Pendant une éclipse, les petits trous d'une passoire, ou les trous entre les feuilles d'un arbre, projettent au sol des dizaines de petits croissants de Soleil.
Question
Quel est le défaut d'une image formée par un sténopé, et que se passe-t-il si l'on agrandit le trou pour y remédier ? Essayez dans l'animation précédente.
Avec un tout petit trou, très peu de lumière passe : l'image est très peu lumineuse. Si l'on agrandit le trou, chaque point objet éclaire sur l'écran une petite tache, et non plus un point : les taches se chevauchent, et l'image devient floue. Il faut choisir entre une image sombre et une image floue.
Le photographe Justin Quinnell a ainsi fabriqué un appareil photo avec une canette percée d'un trou d'épingle, tapissée de papier photographique. Orientée vers le sud, à Bristol, elle a été exposée six mois, d'un solstice à l'autre : on y voit la trace du Soleil, jour après jour.
Une lentille convergente fait converger les rayons qui la traversent. Bien placée, elle envoie tous les rayons issus d'un point objet qui la traversent vers un même point image. On retrouve la correspondance « un point pour un point », mais avec beaucoup plus de lumière : la luminosité de l'image est multipliée par le rapport entre la surface de la lentille et celle du petit trou.
À retenir
Une lentille convergente fait correspondre à chaque point objet un point image, vers lequel convergent tous les rayons issus du point objet qui traversent la lentille. Elle forme ainsi une image à la fois nette et lumineuse.
Une lentille est un morceau de verre (ou de plastique) transparent, limité par deux faces courbes. Une lentille convergente a les bords plus minces que le centre. Elle dévie la lumière par deux réfractions successives, à l'entrée et à la sortie. Quand elle est mince, on peut ignorer son épaisseur : on la représente par un segment terminé par deux pointes de flèche tournées vers l'extérieur.
Définitions
Animation
De la lentille réelle au modèle
À retenir : le foyer image
Les rayons qui arrivent sur la lentille parallèlement à l'axe optique en ressortent tous en passant par un même point de l'axe, situé après la lentille : le foyer image, noté F'.
La lumière peut parcourir un même chemin dans un sens ou dans l'autre : c'est le principe du retour inverse de la lumière (comme un film que l'on passerait à l'envers). Des rayons qui partent du foyer image et traversent la lentille vers la gauche en ressortent donc parallèles à l'axe. En retournant la figure, on obtient un second point remarquable, symétrique de F' par rapport à O.
À retenir : le foyer objet
Les rayons qui passent par le foyer objet F, situé avant la lentille, en ressortent parallèles à l'axe optique. F et F' sont symétriques par rapport au centre optique O.
Définition
La distance focale $f'$ d'une lentille convergente est la distance entre son centre optique et son foyer image : $f' = \text{OF}'$. Elle s'exprime en mètres. Plus elle est petite, plus la lentille est convergente.
Animation
Les foyers d'une lentille convergente
Question
Le Soleil est si loin que ses rayons nous parviennent pratiquement parallèles entre eux. Où se forme l'image du Soleil donnée par une lentille convergente, et pourquoi peut-on enflammer une feuille de papier avec une loupe ?
Les rayons du Soleil qui traversent la lentille convergent au foyer image : l'image du Soleil est une toute petite tache lumineuse, dans le plan qui passe par F'. Toute l'énergie lumineuse reçue par la lentille y est concentrée sur une très petite surface, qui s'échauffe fortement : le papier peut s'enflammer. C'est ce qui justifie le nom de foyer (du latin focus, le feu).
Plus généralement, l'image d'un objet très éloigné (on dit « à l'infini ») se forme au foyer image ; à l'inverse, un objet placé au foyer objet a son image à l'infini.
Pour trouver l'image B' d'un point objet B, il suffit de tracer deux rayons issus de B, dont on connaît le trajet après la lentille : B' est à leur intersection. Les propriétés du centre optique et des foyers fournissent trois rayons faciles à tracer.
À retenir : les trois rayons particuliers
Un rayon qui passe par le centre optique O n'est pas dévié.
Un rayon qui arrive parallèle à l'axe optique ressort en passant par le foyer image F'.
Un rayon qui passe par le foyer objet F ressort parallèle à l'axe optique.
L'image A' de A se trouve sur l'axe optique, à la verticale de B' : l'image A'B' est, elle aussi, perpendiculaire à l'axe.
Animation
Construire l'image A'B'
Faites glisser le point B pour déplacer l'objet.
Remarque
Les trois rayons particuliers n'ont rien de spécial, sinon d'être faciles à tracer ! Une fois B' trouvé, on sait que tous les rayons issus de B qui traversent la lentille passent par B' : essayez le bouton « Tout un faisceau ». La convergence d'un faisceau parallèle vers F' n'est d'ailleurs qu'un cas particulier de cette règle, quand le point objet est à l'infini.
Méthode : construire l'image à l'échelle
Choisir une échelle, puis tracer l'axe optique, la lentille, les foyers F et F' (à la distance $f'$ de O, de part et d'autre), et l'objet AB.
Tracer deux des trois rayons particuliers issus de B, en les fléchant ; leur intersection est B'.
Tracer A'B', perpendiculaire à l'axe optique, avec A' sur l'axe.
Mesurer sur le schéma, et convertir avec l'échelle, la position de l'image ($\text{OA}'$) et sa taille ($\text{A}'\text{B}'$) ; noter son sens (droite ou renversée).
Définition
Le grandissement $\gamma$ (lettre grecque gamma) est le rapport entre la taille de l'image et celle de l'objet. Il n'a pas d'unité.
Sur le schéma, les triangles OAB et OA'B' forment une configuration « papillon » : les droites (AB) et (A'B') sont parallèles (toutes deux perpendiculaires à l'axe), et les droites (AA') et (BB') se coupent en O. D'après le théorème de Thalès, les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles.
Formule
$\gamma = \dfrac{\text{A}'\text{B}'}{\text{AB}} = \dfrac{\text{OA}'}{\text{OA}}$
Remarque
On précise toujours, en plus du grandissement, le sens de l'image : droite ou renversée. Plus tard (en première), on utilisera des longueurs comptées avec un signe, et le grandissement sera négatif pour une image renversée.
Exemple
Un objet AB de 2,0 cm est placé à 15 cm d'une lentille convergente. Son image se forme à 10 cm de la lentille, de l'autre côté. Calculer le grandissement et la taille de l'image.
$\gamma = \dfrac{\text{OA}'}{\text{OA}} = \dfrac{\pu{10 cm}}{\pu{15 cm}} \approx 0,67$, donc $\text{A}'\text{B}' = \gamma \times \text{AB} \approx 0,67 \times \pu{2,0 cm} \approx \pu{1,3 cm}$. L'image est réduite ($\gamma < 1$) et renversée (elle est de l'autre côté de l'axe).
Entraînement
Exploiter une construction
En déplaçant l'objet dans l'animation de construction, on constate que l'image change de position, de taille, et même de nature.
| position de l'objet | image | exemple |
|---|---|---|
| très loin (« à l'infini ») | dans le plan du foyer image F', très petite | image du Soleil |
| avant F, loin de la lentille (au-delà de $2f'$) | réelle, renversée, réduite | œil, appareil photo |
| avant F, près de F (entre $2f'$ et $f'$) | réelle, renversée, agrandie | projecteur de cinéma |
| sur F | à l'infini | phare, lampe torche |
| entre F et la lentille | virtuelle, droite, agrandie | loupe |
À retenir
Pour qu'une lentille convergente donne d'un objet une image réelle, que l'on peut recueillir sur un écran, l'objet doit être placé avant le foyer objet F. L'image est alors renversée, et située après le foyer image F'.
Quand l'objet est entre le foyer objet et la lentille, les rayons issus de B ressortent de la lentille en divergeant : ils ne se croisent nulle part, et aucune image ne peut être recueillie sur un écran. Pourtant, si l'on regarde à travers la lentille, on voit une image droite et agrandie : c'est le principe de la loupe.
Les rayons qui sortent de la lentille semblent provenir d'un point B', situé du même côté que l'objet : c'est le point où se croisent leurs prolongements, vers l'arrière. Aucun rayon ne passe réellement par B' : c'est une illusion, du même type que les mirages. On dit que l'image est virtuelle. Placez l'objet entre F et O dans l'animation de construction pour la voir.
Questions
Si l'on approche ou éloigne un peu l'écran, observe-t-on encore l'image nette ? Et l'image a-t-elle besoin de l'écran pour se former ?
Animation
L'écran, la lentille et l'image
À retenir
Question
Si l'on cache la moitié de la lentille, une partie de l'image disparaît-elle ? Faites une prédiction, puis vérifiez avec le second curseur de l'animation.
L'image reste entière ! Chaque point image est formé par des rayons qui ont traversé toute la lentille. Tant qu'il reste une partie de la lentille, des rayons issus de chaque point objet la traversent et convergent vers le point image correspondant : l'image se forme, mais elle reçoit moins de lumière, et elle est moins lumineuse.
L'œil est, lui aussi, un système optique qui forme des images. La lumière y entre par la cornée, membrane transparente et bombée, traverse la pupille, ouverture au centre de l'iris (la partie colorée de l'œil), puis le cristallin, une lentille souple. Elle forme une image sur la rétine, qui tapisse le fond de l'œil et contient des cellules sensibles à la lumière. Le nerf optique transmet les signaux au cerveau.
Schéma
Coupe de l'œil humain
À retenir : le modèle de l'œil réduit
| œil réel | modèle de l'œil réduit | rôle |
|---|---|---|
| iris (et pupille) | diaphragme | règle la quantité de lumière qui entre |
| cornée et cristallin | lentille mince convergente | forment l'image |
| rétine | écran | reçoit l'image |
L'image formée sur la rétine est réelle et renversée : c'est le cerveau qui la « redresse ».
La cornée assure l'essentiel de la convergence ; le cristallin, lui, permet d'ajuster finement la distance focale. Contrairement à l'appareil photo, qui fait la mise au point en déplaçant l'objectif par rapport au capteur, l'œil ne peut pas changer la distance entre sa lentille et sa rétine (environ 17 mm dans le modèle) : c'est la distance focale qui varie.
Définition
Pour un œil normal (on dit emmétrope), au repos, l'image d'un objet très éloigné se forme exactement sur la rétine. Quand l'objet se rapproche, son image recule derrière la rétine : des muscles bombent alors le cristallin, ce qui diminue sa distance focale et ramène l'image sur la rétine. C'est l'accommodation.
Animation
Le modèle de l'œil réduit
Testez la myopie et l'hypermétropie dans l'animation précédente, avec et sans verre correcteur.
Quiz
Testez-vous sur les lentilles et l'œil