Pourquoi un objet lâché dans la station spatiale flotte-t-il en ligne droite, alors que sur Terre il tombe ? Pourquoi faut-il pousser une voiture pour la faire démarrer, mais aussi pour l’arrêter ? Ce chapitre présente la loi qui relie le mouvement d’un système aux actions qu’il subit : le principe d’inertie, puis la façon de modéliser ces actions par des forces.
Observons ce qui arrive à tout objet lâché dans la Station spatiale internationale (ISS), qu'on le lâche sans vitesse ou en lui donnant une petite impulsion. Comment décrire le mouvement de ces objets, en les assimilant à des points matériels ?
Animation
Des objets lâchés dans l'ISS
Question
Que peut-on dire du mouvement d'un objet lâché ou lancé dans la station, tant qu'il ne touche rien ?
Dans le référentiel de la station, un objet lâché sans vitesse reste immobile, et un objet lancé se déplace en ligne droite, avec des positions également espacées sur la chronophotographie : son mouvement est rectiligne uniforme. Son vecteur vitesse reste le même : même direction, même sens, même norme. Il ne changerait que si quelque chose agissait sur l'objet, par exemple s'il venait heurter une paroi.
À retenir : le principe d'inertie
Tout système persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme, à moins qu'il ne soit contraint, par des actions s'exerçant sur lui, à changer cet état.
C'est une équivalence (une propriété « si et seulement si »), qu'on peut réexprimer ainsi :
À retenir : une autre formulation
Si aucune action non compensée ne s'exerce sur un système, alors son vecteur vitesse reste constant.
Et inversement, si le vecteur vitesse d'un système reste constant, alors aucune action non compensée ne s'exerce sur lui.
« Non compensée » signifie que les actions qui s'exercent sur le système ne s'annulent pas les unes les autres. Une action compensée par une autre n'a pas d'effet sur le mouvement. Schématiquement :
La contraposée du principe d'inertie est tout aussi utile :
À retenir : la contraposée
Si le vecteur vitesse d'un système n'est pas constant, alors il y a au moins une action non compensée qui s'exerce sur lui.
Et inversement, s'il y a une action non compensée, alors le vecteur vitesse du système n'est pas constant.
Attention
Le vecteur vitesse n'est pas constant dès que l'une de ses trois caractéristiques change : sa norme (le système accélère ou ralentit), mais aussi sa direction (le système tourne), même à vitesse constante. Un mouvement circulaire uniforme n'est donc pas un mouvement « sans action ».
Entraînement
Que peut-on conclure ?
Sur Terre, un objet lâché tombe : son vecteur vitesse n'est pas constant, il subit une action, celle de la Terre. Mais cette action est verticale. Dans la direction horizontale, si l'on néglige l'action de l'air, rien n'agit sur lui : le principe d'inertie s'applique alors à cette seule direction, et l'objet conserve sa vitesse horizontale.
Animation
Une balle lâchée depuis un vélo
À retenir
Le principe d'inertie peut s'appliquer à une seule direction : un système soumis uniquement à son poids, qui est vertical, ne subit aucune action horizontale et conserve sa vitesse horizontale.
Revenons dans la station spatiale. Régulièrement, l'ISS allume ses moteurs pour remonter un peu son orbite : c'est un reboost. Que deviennent les objets qui flottent à l'intérieur ?
Animation
Les moteurs de la station s'allument
Dans le référentiel de la station, pendant la poussée des moteurs, les objets se mettent en mouvement vers l'arrière alors que rien n'agit sur eux : le principe d'inertie n'y est plus vérifié. Observée depuis les étoiles, la scène redevient simple : ce sont les objets qui gardent leur vitesse, et la station qui accélère autour d'eux.
À retenir
Le principe d'inertie n'est valable que dans certains référentiels, appelés référentiels galiléens. Pour les mouvements de courte durée à la surface de la Terre, le référentiel terrestre est une très bonne approximation d'un référentiel galiléen.
On a déjà rencontré cet effet dans le chapitre sur le mouvement : dans un train qui démarre, un objet posé sur une tablette très glissante semblerait partir vers l'arrière sans que rien ne le pousse. Le référentiel du train qui accélère n'est pas galiléen.
La Terre fait un tour sur elle-même en 24 heures environ. Un point de l'équateur parcourt donc le périmètre de la Terre, environ $\pu{40 000 km}$, en 24 h : sa vitesse vaut à peu près $\dfrac{\pu{40 000 km}}{\pu{24 h}} \approx \pu{1 670 km*h-1}$, soit $\pu{465 m*s-1}$, environ 1,4 fois la vitesse du son dans l'air ($\pu{340 m*s-1}$).
Cette vitesse diminue quand on s'éloigne de l'équateur, car le cercle parcouru en 24 h est de plus en plus petit : elle passe sous la vitesse du son vers 43° de latitude (à peu près celle de Marseille ou de Toulouse), vaut encore environ $\pu{1 150 km*h-1}$ au centre de la France, et devient nulle aux pôles.
Si le sol s'arrêtait brusquement, tout ce qui n'y est pas solidement attaché (l'air, l'eau des océans, les personnes, les voitures…) conserverait cette vitesse, en vertu du principe d'inertie : des vents supersoniques sur une grande partie du globe, des vagues gigantesques, et tous les objets projetés vers l'est. Rassurez-vous : aucun phénomène connu ne peut arrêter la rotation de la Terre aussi brutalement.
Définitions
Une action est ce qui permet à un système de modifier le mouvement d'un autre système (ou de le déformer).
On modélise une action par une force, représentée par un vecteur : sa direction et son sens sont ceux de l'action (la Terre attire vers le bas, une corde tire le long de la corde…), et sa norme est l'intensité de la force, qui s'exprime en newton (N).
On note $\overrightarrow{F}_{\text{A}\to\text{B}}$ la force qui modélise l'action du système A sur le système B.
Ordre de grandeur
Un newton, c'est à peu près la force qu'il faut pour tenir une petite pomme de 100 g dans la main : c'est son poids. Soulever un sac de 10 kg demande environ 100 N, et un élève de 60 kg pèse environ 600 N.
Attention
Une force n'est pas forcément dans le sens du mouvement ! Un parachutiste qui descend à vitesse constante subit son poids, vers le bas, et l'action de l'air, vers le haut. C'est la somme des forces qui renseigne sur la variation du mouvement : ici, elle est nulle, et le vecteur vitesse reste constant.
Pour savoir ce qui agit sur un système, on fait l'inventaire des objets en interaction avec lui dans un diagramme objet-interaction (DOI) :
On assimile ensuite le système à un point matériel, un point qui concentre toute sa masse, et on représente chaque action par un vecteur force partant de ce point.
Animation pas à pas
Du DOI aux forces
À retenir : le principe d'inertie avec les forces
Dire que les actions qui s'exercent sur un système se compensent, c'est dire que la somme des forces qui s'exercent sur lui est nulle. Le principe d'inertie s'écrit alors :
${\color{#9A3412}\sum \overrightarrow{F} = \vec{0} \quad \Leftrightarrow \quad \vec{v} = \overrightarrow{\text{cste}}}$
et sa contraposée : ${\color{#9A3412}\sum \overrightarrow{F} \neq \vec{0} \Leftrightarrow \vec{v} \neq \overrightarrow{\text{cste}}}$.
Méthode : exploiter le principe d'inertie
Préciser le système étudié et le référentiel (en général le référentiel terrestre).
Faire l'inventaire des actions dans un DOI.
Modéliser chaque action par une force, représentée à partir du point matériel.
Conclure, dans un sens ou dans l'autre : si l'on connaît les forces, on en déduit la nature du mouvement ; si l'on connaît le mouvement, on en déduit si les forces se compensent ou non.
Exemple
Une voiture roule sur une route horizontale et rectiligne, à vitesse constante. Que peut-on dire des forces qui s'exercent sur elle ?
Système et référentiel :
Le système est la voiture, étudiée dans le référentiel terrestre.
DOI :
La voiture est en interaction avec la Terre (action à distance), la route et l'air (actions de contact).
Forces :
Elle subit son poids $\overrightarrow{P}$, vertical vers le bas, la force de la route, qui se compose de la réaction du support (verticale, vers le haut) et de la force de propulsion (horizontale, vers l'avant), et les frottements de l'air (horizontaux, vers l'arrière).
Invocation du principe d'inertie :
D'après l'énoncé, le mouvement de la voiture est rectiligne uniforme (le vecteur vitesse est constant). D'après le principe d'inertie, la somme des forces doit être nulle.
Conclusion :
Les forces verticales et horizontales se compensent alors deux à deux.
La réaction du support compense donc le poids, et la force de propulsion compense les frottements de l'air.
Le poids $\overrightarrow{P}$ modélise l'action de la Terre sur un système situé à sa surface. Il est vertical, orienté vers le bas, et sa valeur est donnée par :
Formule
$P = m \times g$
Remarque
On écrit aussi $g = \pu{9,8 m*s-2}$ : les deux unités sont équivalentes, car $\pu{1 N} = \pu{1 kg*m*s-2}$. Il ne faut pas confondre la masse (en kg), qui ne dépend pas du lieu, et le poids (en N), qui en dépend : sur la Lune, où $g = \pu{1,6 N*kg-1}$, un astronaute de même masse pèse six fois moins lourd.
Entraînement
Masse et poids
Pas besoin de vivre dans l'ISS pour observer les effets du principe d'inertie. L'exemple le plus simple : un objet au repos a tendance à rester au repos si rien ne le met en mouvement.
Sur Terre, deux obstacles empêchent cependant d'observer les beaux mouvements rectilignes uniformes de la station :
Si l'on diminue fortement les frottements, sur de la glace ou sur un coussin d'air, le principe d'inertie est plutôt bien illustré : le mouvement se conserve… du moins pendant un certain temps.
Animation
Un palet lancé sur différentes surfaces
À retenir
L'échelle de temps de l'observation est primordiale : sur une durée très courte, on observe facilement des mouvements presque rectilignes uniformes, alors que sur des durées plus longues, les frottements finissent toujours par modifier le mouvement.
Sur Terre, un objet lancé ne suit pas une ligne droite : il retombe, car son poids n'est compensé par rien. Le principe d'inertie semble ne plus servir à rien… Pourtant, il continue de s'appliquer, à condition de regarder le mouvement direction par direction.
Pour « voir » la vitesse horizontale, il suffit de regarder l'ombre de l'objet sur le sol, quand le Soleil est haut dans le ciel : elle ne garde que le mouvement horizontal. Lors d'une chandelle au rugby, l'ombre du ballon avance à vitesse constante, alors que le ballon monte puis redescend.
Animation
La chandelle au rugby
C'est exactement ce qui se passait pour la balle lâchée depuis le vélo : elle conservait la vitesse horizontale du cycliste, et tombait donc à côté de lui. C'est aussi ce qu'on a vu dans le chapitre sur le mouvement, avec la balle qui rebondit sur une remorque tirée par un tracteur : tant que le tracteur roule à vitesse constante, la balle retombe toujours sur le trampoline… mais s'il accélère ou freine pendant qu'elle est en l'air, elle garde sa vitesse horizontale et le rate !
Animation
Une balle qui rebondit sur une remorque
À retenir
Un objet soumis uniquement à son poids (frottements négligés) conserve sa vitesse horizontale, tandis que sa vitesse verticale varie. C'est la conséquence la plus courante du principe d'inertie dans la vie de tous les jours : ballons, projectiles, sauts, objets lâchés depuis un véhicule…
Une action va toujours dans les deux sens : quand on pousse un mur, le mur nous repousse.
À retenir : le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton)
Si un système A agit sur un système B, alors le système B agit sur le système A avec une action exactement opposée : même direction, même intensité, mais sens contraire.
${\color{#9A3412}\overrightarrow{F}_{\text{A}\to\text{B}} = -\overrightarrow{F}_{\text{B}\to\text{A}}}$
L'ourson pousse la voiture, et la voiture pousse l'ourson : les deux forces ont la même intensité. Elles ne se compensent pas pour autant, car elles s'exercent sur deux systèmes différents.
Attention à ne pas confondre
Deux forces réciproques modélisent les deux sens d'une même interaction : elles s'exercent sur deux systèmes différents, et ne peuvent donc jamais se compenser. Deux forces qui se compensent s'exercent au contraire sur le même système, et proviennent de deux interactions différentes.
Exemples
Un livre posé sur une table est soumis à deux forces : la force de la Terre sur le livre (poids) et la force de la table sur le livre (réaction du support). Ces deux forces se compensent d'après le principe d'inertie.
La force du livre sur la Terre, réciproque à celle de la Terre sur le livre, n’agit pas sur le livre (elle agit sur la Terre) et ne participe donc pas au bilan des forces sur le livre.
Entraînement
Réciproques ou compensées ?
Animation
Un astronaute pousse un objet
Appliquer la même force à des objets de masses différentes n'a pas le même effet : pousser un vélo ou pousser un camion ne donne pas le même résultat. Plus la masse est grande, plus la vitesse acquise est petite.
La Terre agit sur nous autant que nous agissons sur elle. Pourquoi alors ne bouge-t-elle pas quand on saute ? En fait… elle bouge ! Mais il est raisonnable de supposer que les déplacements du sauteur et de la Terre sont inversement proportionnels à leurs masses : plus la masse est grande, plus le « saut » est petit.
« Inversement proportionnel » signifie que le rapport des déplacements est l'inverse du rapport des masses :
$\dfrac{{\color{#059669}d_\text{Terre}}}{{\color{#059669}d_\text{sauteur}}} = \dfrac{{\color{#2563EB}m_\text{sauteur}}}{{\color{#2563EB}M_\text{Terre}}}$
d'où : ${\color{#059669}d_\text{Terre}} = \pu{0,5 m} \times \dfrac{\pu{60 kg}}{\pu{6E24 kg}} = {\color{#059669}\pu{5E-24 m}}$.
Pour se faire une idée
Un atome mesure environ $\pu{1E-10 m}$, et le noyau d'un atome environ $\pu{1E-15 m}$. Le recul de la Terre, $\pu{5E-24 m}$, est donc un milliard de fois plus petit que le noyau d'un atome !
Défi
Et si les 8 milliards d'humains, de 70 kg en moyenne, sautaient tous ensemble, au même instant, de 50 cm ?
La masse totale des sauteurs vaut $\pu{8E9} \times \pu{70 kg} \approx \pu{6E11 kg}$, d'où ${\color{#059669}d_\text{Terre}} = \pu{0,5 m} \times \dfrac{\pu{6E11 kg}}{\pu{6E24 kg}} = {\color{#059669}\pu{5E-14 m}}$.
C'est quelques dizaines de fois la taille d'un proton : aucun instrument ne pourrait le détecter. Et quand tout le monde retombe, la Terre revient exactement à sa place !
La Terre attire la Lune, et la Lune attire la Terre. D'après le principe des actions réciproques, ces deux forces ont exactement la même intensité, même si la Terre est 81 fois plus massive que la Lune.
Animation
De quoi dépend l'attraction gravitationnelle ?
Loi de la gravitation universelle
La force d'attraction gravitationnelle exercée par un système A de masse $m_\text{A}$ sur un système B de masse $m_\text{B}$, leurs centres étant séparés d'une distance AB, s'écrit :
${\color{#FFFFFF}\overrightarrow{F}_{\text{A}\to\text{B}} = {\color{#99F6E4}-}\,G\,\dfrac{m_\text{A} \times m_\text{B}}{\text{AB}^2}\,{\color{#99F6E4}\vec{u}_{\text{AB}}}}$
Pour calculer l'intensité de la force, on laisse de côté le signe « $-$ » et le vecteur unitaire :
Formule
$F_{\text{A}\to\text{B}} = G\,\dfrac{m_\text{A} \times m_\text{B}}{\text{AB}^2}$
L'intensité est proportionnelle à chacune des deux masses, et inversement proportionnelle au carré de la distance : si l'on double la distance, la force est divisée par 4.
Appliquons cette loi à un objet de masse $m$ posé à la surface de la Terre, de masse $M_\text{T}$ et de rayon $R_\text{T}$ : la distance entre leurs centres vaut $R_\text{T}$.
$$F_{\text{Terre}\to\text{objet}} = G\,\dfrac{m \times M_\text{T}}{R_\text{T}^2} = m \times {\color{#2563EB}G\,\dfrac{M_\text{T}}{R_\text{T}^2}} = m \times {\color{#2563EB}g}$$
C'est la formule du poids ! Avec $M_\text{T} = \pu{5,97E24 kg}$ et $R_\text{T} = \pu{6,37E6 m}$ :
$${\color{#2563EB}g} = \pu{6,67E-11 N * m2 * kg-2} \times \dfrac{\pu{5,97E24 kg}}{\left(\pu{6,37E6 m}\right)^2} \approx {\color{#2563EB}\pu{9,81 N*kg-1}}$$
On retrouve bien l'intensité de la pesanteur terrestre.
Remarque
En toute rigueur, le poids et l'attraction gravitationnelle de la Terre diffèrent très légèrement, à cause de la rotation de la Terre, mais on les confond en seconde.
Question
Que vaut l'intensité de la pesanteur $g$ à bord de l'ISS, qui tourne à environ 400 km d'altitude ?
Animation
L'intensité de la pesanteur en fonction de l'altitude
À 400 km d'altitude, la distance au centre de la Terre vaut $R_\text{T} + \pu{400 km} = \pu{6,77E6 m}$, d'où $g = G\,\dfrac{M_\text{T}}{(\pu{6,77E6 m})^2} \approx \pu{8,7 N*kg-1}$, soit environ 89 % de sa valeur au sol.
Les astronautes ne flottent donc pas parce qu'il n'y aurait « plus de pesanteur » ! Ils flottent parce que la station et tout ce qu'elle contient tombent ensemble vers la Terre, en permanence : ils sont en chute libre. La station va si vite horizontalement (environ $\pu{28 000 km*h-1}$) qu'en tombant, elle « rate » sans cesse la Terre et tourne autour.
Comment la station peut-elle tomber sans jamais s'écraser ? Newton l'avait déjà compris, avec une expérience de pensée : un canon, placé au sommet d'une montagne immense, tire des boulets horizontalement, de plus en plus vite.
Animation
Le canon de Newton
Définition
On parle de chute libre lorsqu'un système n'est soumis qu'à son poids.
Animation
Une boule de bowling et une plume lâchées ensemble
À retenir
Le mouvement d'un objet en chute libre lâché sans vitesse est accéléré vers le bas, et il ne dépend pas de la masse de l'objet.
Pendant près de deux mille ans, on a pensé, avec Aristote, que les corps lourds tombaient plus vite que les corps légers. Au début du XVIIe siècle, Galilée montre qu'il n'en est rien : si l'on pouvait supprimer l'air, tous les corps tomberaient de la même façon. L'astronaute David Scott l'a vérifié sur la Lune en 1971, en lâchant ensemble un marteau et une plume, et l'expérience a été refaite dans une immense chambre à vide de la NASA avec une boule de bowling et des plumes : elles touchent le sol au même instant.
Cette propriété étonnante est au cœur de la relativité générale d'Einstein. Imaginez-vous enfermé dans un ascenseur dont le câble casse : vous, l'ascenseur et tous les objets qu'il contient tombez exactement de la même façon. Un objet lâché reste donc immobile par rapport à vous, comme dans l'ISS. Depuis l'intérieur, rien ne permet de distinguer cette chute libre d'un voyage dans l'espace, loin de toute planète : c'est le principe d'équivalence (Einstein en parlait comme de « l'idée la plus heureuse de sa vie »).
Pour Einstein, la chute libre est donc le mouvement le plus « naturel » qui soit : c'est le référentiel de l'ascenseur qui tombe, ou de l'ISS, qui ressemble le plus à un référentiel galiléen. Celui qui ressent quelque chose de particulier, c'est vous, debout sur le sol, que le sol empêche de tomber !
Définition
Le vecteur variation de vitesse entre deux instants voisins, où le système passe en M puis en M', est :
${\color{#6D28D9}{\overrightarrow{\Delta v}}} = {\color{#C98A00}{\vec{v}_{\mathrm{M'}}}} - {\color{#C98A00}{\vec{v}_{\mathrm{M}}}}$
Soustraire $\vec{v}_\mathrm{M}$, c'est ajouter le vecteur opposé. En pratique, on trace les deux vecteurs vitesse à partir du même point : $\overrightarrow{\Delta v}$ est alors la flèche qui va de l'extrémité de $\vec{v}_\mathrm{M}$ à l'extrémité de $\vec{v}_{\mathrm{M'}}$.
D'après la contraposée du principe d'inertie, si $\overrightarrow{\Delta v} \neq \vec{0}$, alors la somme des forces qui s'exercent sur le système n'est pas nulle. On peut aller plus loin :
À retenir
La somme des forces qui s'exercent sur un système a la même direction et le même sens que le vecteur variation de vitesse $\overrightarrow{\Delta v}$ entre deux instants voisins.
Animation pas à pas
Construire le vecteur variation de vitesse
En chute libre, $\overrightarrow{\Delta v}$ est vertical et vers le bas, comme le poids, seule force qui s'exerce. Pour le mouvement circulaire uniforme, $\overrightarrow{\Delta v}$ est dirigé vers le centre du cercle : la somme des forces aussi (pour une balle qui tourne au bout d'un fil, c'est le fil qui tire vers le centre).
Entraînement
Du vecteur variation de vitesse à la somme des forces
Ce programme simule la chute libre d'une balle lancée horizontalement, calcule les vecteurs vitesse et les vecteurs variation de vitesse, puis les trace. Modifiez la vitesse de lancement v0 ou la durée dt et relancez : les vecteurs $\overrightarrow{\Delta v}$ restent tous verticaux, vers le bas, et identiques.
Je sais…
Pour finir, un quiz qui balaie tout le chapitre : les questions sont mélangées à chaque essai, et chaque réponse est expliquée.
Quiz
Testez-vous sur tout le chapitre