Théorie quantique des champs
Notes de lecture du livre Quantum field theory for the gifted amateur de Thomas Lancaster et Stephen Blundell. Très souvent une simple traduction.
Partie 3 : champs quantiques
Évolution temporelle
Deux représentations de la mécanique quantique s’opposent quant à la description de l’évolution temporelle d’un système : la représentation de Schrödinger et la représentation d’Heisenberg.
Représentation de Schrödinger
Dans la représentation de Schrödinger, ce sont les fonctions d’onde qui dépendent du temps et leur évolution est déterminée par l’équation de Schrödinger :
$$ \mathrm{i} \frac{\partial \psi(\boldsymbol{x}, t)}{\partial t}=\hat{H} \psi(\boldsymbol{x}, t) $$
On accède aux variables dynamiques comme la position et l’impulsion via des opérateurs ($\hat{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}$, $\hat{\boldsymbol{p}}=-\mathrm{i} \nabla$) qui agissent sur la fonction d’onde.
On est très loin de la mécanique classique où les variables dynamiques ($\boldsymbol{p}(t)$, $\boldsymbol{x}(t)$,…) dépendent du temps et sont donc décrites par des équations du mouvement. Mais comme aucun “opérateur temps” n’existe en mécanique quantique, il faut se contenter d’un paramètre temporel $t$ que la représentation de Schrödinger confine donc entièrement dans la fonction d’onde.
Pas d’opérateur donnant le temps mais quand même un opérateur d’évolution $\hat{U}(t_2,t_1)$ permettant de faire évoluer une particule de $t_1$ à $t_2$.
$$ \psi\left(t_2\right)=\hat{U}\left(t_2, t_1\right) \psi\left(t_1\right) $$
L’opérateur d’évolution a les propriétés suivantes :
- $\hat{U}\left(t_1, t_1\right)=1$
Rien ne se passe si les instants sont les mêmes. - $\hat{U}\left(t_3, t_2\right) \hat{U}\left(t_2, t_1\right)=\hat{U}\left(t_3, t_1\right)$
Cette relation de composition montre qu'on peut construire une translation temporelle quelconque en multipliant entre elles une multitude de translations temporelles minuscules. - $\displaystyle \mathrm{i} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t_2} \hat{U}\left(t_2, t_1\right)=\hat{H} \hat{U}\left(t_2, t_1\right)$
L'opérateur d'évolution lui-même obéit à l'équation de Schrödinger.
Pour le prouver, on part de $\psi\left(t_2\right)=\hat{U}\left(t_2, t_1\right) \psi\left(t_1\right)$ et on dérive par rapport à $t_2$ :
$$ \frac{\mathrm{d} \psi\left(t_2\right)}{\mathrm{d} t_2}=\frac{\mathrm{d} \hat{U}\left(t_2, t_1\right)}{\mathrm{d} t_2} \psi\left(t_1\right) $$
Et en utilisant $\mathrm{i} \frac{\partial \psi(\boldsymbol{x}, t)}{\partial t}=\hat{H} \psi(\boldsymbol{x}, t)$, on obtient ;
$$ \mathrm{i} \frac{\mathrm{~d} \psi\left(t_2\right)}{\mathrm{d} t_2}=\hat{H} \psi\left(t_2\right)=\hat{H} \hat{U}\left(t_2, t_1\right) \psi\left(t_1\right) $$
- $\hat{U}\left(t_1, t_2\right)=\hat{U}^{-1}\left(t_2, t_1\right)$
On prenant l'inverse de l'opérateur d'évolution, on remonte le temps. - $\hat{U}^{\dagger}\left(t_2, t_1\right) \hat{U}\left(t_2, t_1\right)=1,$
L'opérateur d'évolution est unitaire.
Pour $t_2=t_1$, c’est trivial.
Pour $t_2\neq t_1$, montrons que cette composition d’opérateurs est constante (et cette constante vaut 1 par normalisation) :
$$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t_2}\left[\hat{U}^{\dagger}\left(t_2, t_1\right) \hat{U}\left(t_2, t_1\right)\right] & =\frac{\mathrm{d} \hat{U}^{\dagger}}{\mathrm{d} t_2} U+U^{\dagger} \frac{\mathrm{d} \hat{U}}{\mathrm{~d} t_2} \\ & =-\frac{\hat{U}^{\dagger} \hat{H} \hat{U}}{\mathrm{i}}+\frac{\hat{U}^{\dagger} \hat{H} \hat{U}}{\mathrm{i}}\\ &=0 \end{aligned} $$
où on a utilisé $\frac{\mathrm{d} \hat{U}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\hat{H} \hat{U}}{\mathrm{i}}$ et $\frac{\mathrm{d} \hat{U}^{\dagger}}{\mathrm{d} t}=-\frac{\hat{U}^{\dagger} \hat{H}}{\mathrm{i}}$.
Une conséquence directe est que $\hat{U}^\dagger(t_2,t_1)=\hat{U}^{-1}(t_2,t_1)$ ; l’opérateur adjoint est l’opérateur inverse.
La propriété 3 permet d’exprimer explicitement $\hat{U}(t_2,t_1)$ :
$$ \hat{U}\left(t_2, t_1\right)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \hat{H}\left(t_2-t_1\right)} $$
Ce type d’expression exponentiel cache le développement :
$$ \mathrm{e}^{\hat{A}}=1+\hat{A}+\frac{1}{2!} \hat{A} \hat{A}+\frac{1}{3!} \hat{A} \hat{A} \hat{A}+\ldots $$
Représentation d’Heisenberg
Plutôt que de placer la dépendance temporelle dans la fonction d’onde, dans la représentation d’Heisenberg, ce sont les opérateurs qui la prennent en charge.
Pour passer d’une représentation à l’autre, commençons par écrire la valeur moyenne de l’opérateur $O$ dans l’état $\psi(t)$ :
$$ \langle\hat{O}(t)\rangle=\langle\psi(t)| \hat{O}|\psi(t)\rangle $$
Toutes les représentations doivent s’accorder sur ce résultat.
Utilisons maintenant l’opérateur d’évolution pour ne plus avoir à s’occuper que de l’état à l’instant initial $\psi(0)$ :
$$ \psi(t)=\hat{U}(t, 0) \psi(0)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \hat{H} t} \psi(0) $$
Et en replaçant $\psi(t)$ dans l’expression de la valeur moyenne :
$$ \langle\psi(t)| \hat{O}|\psi(t)\rangle=\langle\psi(0)| \hat{U}^{\dagger}(t, 0) \hat{O} \hat{U}(t, 0)|\psi(0)\rangle $$
Dans la représentation de Schrödinger, on considère les opérateurs comme indépendants du temps ($\hat{O}_{\mathrm{S}} \equiv \hat{O}$), contrairement aux états ($\left|\psi_{\mathrm{S}}(t)\right\rangle \equiv \hat{U}(t, 0)|\psi(0)\rangle$) de telle sorte que :
$$ \langle\psi(0)| \hat{U}^{\dagger}(t, 0)[\hat{O}] \hat{U}(t, 0)|\psi(0)\rangle=\left\langle\psi_{\mathrm{S}}(t)\right| \hat{O}_{\mathrm{S}}\left|\psi_{\mathrm{S}}(t)\right\rangle $$
Mais en étendant un peu les crochets, on obtient une nouvelle façon de voir les choses où les opérateurs deviennent des objets dynamiques :
$$ \langle\psi(0)|\left[\hat{U}^{\dagger}(t, 0) \hat{O} \hat{U}(t, 0)\right]|\psi(0)\rangle=\left\langle\psi_{\mathrm{H}}\right| \hat{O}_{\mathrm{H}}(t)\left|\psi_{\mathrm{H}}\right\rangle $$
On obtient ainsi la représentation d’Heisenberg où les états sont indépendants du temps ($\psi_{\mathrm{H}} \equiv \psi(0)$), contrairement aux opérateurs :
$$ \hat{O}_{\mathrm{H}}(t) \equiv \hat{U}^{\dagger}(t, 0) \hat{O}_{\mathrm{S}} \hat{U}(t, 0) $$
On retrouve une situation similaire à la mécanique classique avec ses variables dynamiques.
Et pour expliciter la dépendance temporelle de $\hat{O}_H(t)$, on différentie l’équation précédente et on utilise la propriété 3 de l’opérateur d’évolution :
$$ \frac{\mathrm{d} \hat{O}_{\mathrm{H}}(t)}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} \hat{U}^{\dagger}}{\mathrm{d} t} \hat{O}_{\mathrm{S}} \hat{U}+\hat{U}^{\dagger} \hat{O}_{\mathrm{S}} \frac{\mathrm{~d} \hat{U}}{\mathrm{~d} t}=\frac{1}{\mathrm{i}}\left(-\hat{U}^{\dagger} \hat{H} \hat{O}_{\mathrm{S}} \hat{U}+\hat{U}^{\dagger} \hat{O}_{\mathrm{S}} \hat{H} \hat{U}\right) $$
En utilisant la définition de $\hat{O}_H(t)$ et le fait que $\hat{U}$ et $\hat{H}$ commutent (puisque $\hat{U}$ s’exprime à partir de $\hat{H}$), on obtient l’équation du mouvement d’Heisenberg :
$$ \frac{\mathrm{d} \hat{O}_{\mathrm{H}}(t)}{\mathrm{d} t}=\frac{1}{\mathrm{i} \hbar}\left[\hat{O}_{\mathrm{H}}(t), \hat{H}\right] $$
Les limites de la description du monde par la mécanique quantique
La mécanique quantique “classique” est une description formidable du monde à petite échelle. Mais c’est fondamentalement une description à une particule. Tant qu’on n’est pas embêté par la relativité, ça suffit. Mais les deux résultats suivants témoignent de l’incapacité de la mécanique quantique à une particule à s’accommoder d’un cadre relativiste.
Premier coup dur : la probabilité de trouver la particule en dehors de son cône de lumière n’est pas nulle. En effet, $\langle\boldsymbol{x}| \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \hat{H} t}|\boldsymbol{x}=0\rangle$ donne un résultat proportionnel à $\mathrm{e}^{-m|x|}$ pour un intervalle de type espace (tel que $|x|>t$). C’est certes infime pour des grands $|\boldsymbol{x}|$, mais cela reste difficilement acceptable…
Deuxième coup porté : imaginons que l’on cloisonne la particule entre deux murs (des barrières de potentiel) séparés d’une distance bien inférieure à sa longueur d’onde de Compton $\lambda=h m / c$ ($1/m$ en unités naturelles). La minuscule incertitude sur la position ($\Delta x \ll \lambda$) entraîne une incertitude sur l’impulsion telle ($\Delta p \gg 1/\lambda=m$) que l’énergie de la particule devient suffisante pour faire jaillir des paires de particules-antiparticules. La boite devrait alors contenir en moyenne plus d’une particule, situation que la mécanique quantique “classique” n’est pas câblée pour décrire.
Ces objets définis localement (en un point $x$ de l’espace-temps) que sont les champs et plus précisément les champs d’opérateurs $\hat{\phi}(x)$ vont tirer la quantique de ce mauvais pas. Et puisqu’il s’agit de placer au premier plan des opérateurs dynamiques, la représentation d’Heisenberg va se trouver être la représentation idoine.
Pour rendre un champ d’opérateurs compatible avec la relativité, il suffit de s’assurer que des opérateurs éloignés d’un intervalle de type espace commutent ($[\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)]=0$ si $(x-y)^2<0$). Cela empêche que le résultat de l’une des mesures puisse influer causalement le résultat de l’autre.
Transformations continues
Translations dans l’espace-temps
Pour translater une particule dans l’espace, il nous faut un opérateur $\hat{U}$ qui transforme un état localisé en $\boldsymbol{x}$ en un état localisé en $\boldsymbol{x}+\boldsymbol{a}$ :
$$ \hat{U}(\boldsymbol{a})|\boldsymbol{x}\rangle=|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{a}\rangle $$
On suppose ici qu’on a transporté la particule à sa nouvelle place ; on parle alors de point de vue actif.
Faisons maintenant agir l’opérateur sur une fonction d’onde $\psi(x)$ :
$$ \hat{U}(\boldsymbol{a})\psi(\boldsymbol{x})=\psi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}) $$
Soit $|\psi\rangle$ l’état décrit par la fonction d’onde $\psi(\boldsymbol{x})=\langle\psi|\boldsymbol{x}\rangle$ et soit $|\phi\rangle=\hat{U}(\boldsymbol{a})|\psi\rangle$, l’état translaté.
$$ \begin{aligned} \phi(\boldsymbol{x}) & =\langle \boldsymbol{x} | \phi\rangle\\ &=\langle \boldsymbol{x} | \hat{U}(\boldsymbol{a})|\psi\rangle\\ &=\int d \boldsymbol{x}^{\prime} \langle \boldsymbol{x} | \hat{U}(\boldsymbol{a}) | \boldsymbol{x}^{\prime}\rangle \langle \boldsymbol{x}^{\prime} | \psi \rangle\\ &=\int d \boldsymbol{x}^{\prime} \langle \boldsymbol{x} | \boldsymbol{x}^{\prime}+\boldsymbol{a} \rangle \langle \boldsymbol{x}^{\prime} | \psi\rangle \\ & =\int d \boldsymbol{x}^{\prime} \delta (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{\prime}-\boldsymbol{a}) \psi (\boldsymbol{x}^{\prime})\\ &=\psi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}) \end{aligned} $$
En réécrivant ça $\phi(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{a})=\psi(\boldsymbol{x})$, on obtient un moyen simple de se souvenir du signe :
la valeur de la nouvelle fonction d’onde au nouveau point est égale à la valeur de l’ancienne fonction d’onde à l’ancien point.
Propriétés de l’opérateur de translation :
-
$\hat{U}(\boldsymbol{0})=1$
Présence d'un élément neutre. -
$\hat{U}(\boldsymbol{a})\hat{U}(\boldsymbol{b})=\hat{U}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$
Loi de composition. -
$\hat{U}(\boldsymbol{a})^{-1}=\hat{U}(-\boldsymbol{a})$
L'opérateur de translation admet un inverse. -
$\hat{U}(\boldsymbol{a})^{-1}=\hat{U}(\boldsymbol{a})^\dagger$
L'opérateur de translation est unitaire.
Ces propriétés nous montrent que ces transformations forment un groupe et comme chaque élément dépend d’un paramètre continu ($\boldsymbol{a}$) entraînant que le groupe possède un nombre infini d’éléments, il s’agit d’un groupe de Lie.
Un groupe est un ensemble $G$ muni d’une loi de composition interne $\bullet$ associative admettant un élément neutre et, pour chaque élément de l’ensemble, un élément symétrique :
- $\forall a, b \in G, a \bullet b \in G$ (clôture)
- $\forall a, b, c \in G, a \bullet(b \bullet c)=(a \bullet b) \bullet c$ (associativité)
- $\exists e \in G$ tel que $\forall a \in G, a \bullet e=e \bullet a=a$ (élément neutre)
- $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G$ tel que $a \bullet a^{-1}=a^{-1} \bullet a=e$ (inverse)
Des vieilles notes de lecture d’un autre chouette livre pour en savoir un peu plus sur les groupes discrets.
L’opérateur de translation peut aussi être vu comme la transformation d’un opérateur :
$$ \hat{U}^{\dagger}(\boldsymbol{a}) \hat{\boldsymbol{x}} \hat{U}(\boldsymbol{a})=(\hat{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{a}) . $$
$$ \begin{aligned} \hat{U}(\boldsymbol{a})|\boldsymbol{x}\rangle & =|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{a}\rangle \\ \hat{\boldsymbol{x}} U(\boldsymbol{a})|\boldsymbol{x}\rangle & =\hat{\boldsymbol{x}}|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{a}\rangle=(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{a})|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{a}\rangle \\ U^{\dagger}(\boldsymbol{a}) \hat{\boldsymbol{x}} U(\boldsymbol{a})|\boldsymbol{x}\rangle & =(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{a}) U^{\dagger}(\boldsymbol{a})|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{a}\rangle=(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{a})|\boldsymbol{x}\rangle \end{aligned} $$
Imaginons une observable représentée par l’opérateur $\hat{O}$. Si une translation n’a pas d’effet sur la propriété mesurée par cet opérateur, on peut écrire :
$$ \langle\psi(\boldsymbol{x})| \hat{O}|\psi(\boldsymbol{x})\rangle=\langle\psi(\boldsymbol{x})| \hat{U}^{-1}(\boldsymbol{a}) \hat{O} \hat{U}(\boldsymbol{a})|\psi(\boldsymbol{x})\rangle $$
On dit alors que l’opérateur est un invariant et la condition pour qu’un opérateur $\hat{O}$ soit un invariant est donc :
$$ \hat{U}^{-1}(\boldsymbol{a}) \hat{O} \hat{U}(\boldsymbol{a})=\hat{O} $$
Ce qui devient en faisant agir $\hat{U}$ à gauche de chaque membre de l’égalité :
$$ [\hat{O},\hat{U}]=0 $$
L’invariance par rapport à une transformation implique la commutation des opérateurs.
Essayons maintenant d’obtenir une formule explicite pour l’opérateur de translation.
$$ \psi(x-\delta a)=\psi(x)-\frac{\mathrm{d} \psi(x)}{\mathrm{d} x} \delta a+\ldots $$
Ce qu’on peut réécrire au premier ordre, en se rappelant que $\hat{p}=-\mathrm{i} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x}$ :
$$ \psi(x-\delta a)=(1-\mathrm{i} \hat{p} \delta a) \psi(x) $$
On dit que l’opérateur $\hat{p}$ est le générateur des translations spatiales. Pour opérer une translation d’une distance $a$, on peut translater de $\delta a$ un grand nombre $N$ de fois :
$$ \begin{aligned} \psi(x-a) & =\lim _{N \rightarrow \infty}(1- \mathrm{i} \hat{p} \delta a)^N \psi(x) \\ & =\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \hat{p} a} \psi(x) \end{aligned} $$
Par identification :
$$ \hat{U}(\boldsymbol{a})=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \hat{\boldsymbol{p}} \cdot \boldsymbol{a}} $$
Action de l’opérateur de translation sur un état d’impulsion $|\boldsymbol{q}\rangle :$
$$ \begin{aligned} \hat{U}(\boldsymbol{a})|\boldsymbol{q}\rangle & =\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \hat{p} \cdot \boldsymbol{a}}|\boldsymbol{q}\rangle \\ & =\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{a}}|\boldsymbol{q}\rangle \end{aligned} $$
Projeté sur l’axe des coordonnées, on obtient bien une fonction d’onde translatée :
$$ \langle\boldsymbol{x}| \hat{U}(\boldsymbol{a})|\boldsymbol{q}\rangle=\langle\boldsymbol{x} | \boldsymbol{q}\rangle \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{a}}=\frac{1}{\sqrt{\mathcal{V}}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \boldsymbol{q} \cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})} $$
L’opérateur d’évolution de la section précédente peut aussi être vu comme un opérateur de translation temporelle.
On peut le reconstruire sur le modèle des translations spatiales en partant d’une petite variation $\delta t_a$ dans la fonction d’onde :
$$ \psi\left(t-\delta t_a\right)=\psi(t)-\frac{\mathrm{d} \psi(t)}{\mathrm{d} t} \delta t_a+\ldots $$
Et comme $\hat{H}=\mathrm{i} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t}$, on obtient :
$$ \psi\left(t-\delta t_a\right)=\left(1+\mathrm{i} \hat{H} \delta t_a\right) \psi(t) $$
Ce qui donne finalement :
$$ \hat{U}(t_a)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat{H}t_a} $$
On peut dès lors combiner les deux translations en un seul opérateur de translation spatio-temporelle en définissant l’opérateur quadri-impulsion $\hat{p}=(\hat{H}, \hat{\boldsymbol{p}})$ :
$$ \hat{U}(a)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \hat{p} \cdot a}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \hat{H} t_a-\mathrm{i} \hat{\boldsymbol{p}} \cdot \boldsymbol{a}} $$
Rotations
Une matrice de rotation $\mathbf{R}(\boldsymbol{\theta})$ (où $\boldsymbol{\theta}$ est le vecteur dont l’axe est celui de la rotation et la norme est donnée par l’angle) agit sur une grandeur vectorielle comme l’impulsion : $\boldsymbol{p}^{\prime}=\mathbf{R}(\boldsymbol{\theta}) \boldsymbol{p}$. L’opérateur vectoriel associé peut se définir comme :
$$ \left|\boldsymbol{p}^{\prime}\right\rangle=\hat{U}(\boldsymbol{\theta})|\boldsymbol{p}\rangle=|\mathbf{R}(\boldsymbol{\theta}) \boldsymbol{p}\rangle $$
L’opérateur possède à nouveau les propriétés clés attendues pour une telle transformation :
- unitarité : $\hat{U}^{\dagger}(\boldsymbol{\theta}) \hat{U}(\boldsymbol{\theta})=1$
- présence d'un élément neutre : $\hat{U}(0)=1$
- loi de composition interne : $\hat{U}(\boldsymbol{\theta}_1)\hat{U}(\boldsymbol{\theta}_2)=\hat{U}(\boldsymbol{\theta}_{12})$ où $\mathbf{R}(\boldsymbol{\theta}_{12})=\mathbf{R}(\boldsymbol{\theta}_1) \mathbf{R}(\boldsymbol{\theta}_2)$
Preuve de l'unitarité :
$$ \begin{aligned} \hat{U}(\boldsymbol{\theta}) \hat{U}^{\dagger}(\boldsymbol{\theta}) & =\hat{U}(\boldsymbol{\theta})\left(\int \mathrm{d}^3 p|\boldsymbol{p}\rangle\langle\boldsymbol{p}|\right) \hat{U}^{\dagger}(\boldsymbol{\theta}) \\ & =\int \mathrm{d}^3 p|\mathbf{R}(\boldsymbol{\theta}) \boldsymbol{p}\rangle\langle\mathbf{R}(\boldsymbol{\theta}) \boldsymbol{p}|\\ &=\int \mathrm{d}^3 \boldsymbol{p}^{\prime}|\boldsymbol{p}^{\prime}\rangle\langle\boldsymbol{p}^{\prime}|\\ &=1 \end{aligned} $$
Puisque $\boldsymbol{p}^{\prime}=\mathbf{R}(\boldsymbol{\theta}) \boldsymbol{p}$ et $\mathrm{d}^3 p^{\prime}=\mathrm{d}^3 p$ car $\operatorname{det} \mathbf{R}(\boldsymbol{\theta})=1$ par conservation de l’orientation (et donc le jacobien vaut 1).
Ces opérateurs forment un nouveau groupe de Lie appelé le groupe des rotations.
Translations dans l’espace-temps, rotations et boosts de Lorentz et leurs combinaisons sont tous des éléments du groupe de Poincaré et peuvent tous être représentés par des opérateurs unitaires.
La rotation non plus d’un état mais d’un opérateur est donnée par :
$$ \hat{U}^{\dagger}(\boldsymbol{\theta}) \,\hat{\boldsymbol{p}} \,\hat{U}(\boldsymbol{\theta})=\mathbf{R}(\boldsymbol{\theta}) \hat{\boldsymbol{p}} $$
Cherchons là encore à exprimer explicitement l’opérateur en partant d’une petite rotation selon l’axe des $z$ d’une fonction d’onde :
$$ \psi\left(\theta^z-\delta \theta^z\right)=\psi\left(\theta^z\right)-\frac{\mathrm{d} \psi\left(\theta^z\right)}{\mathrm{d} \theta^z} \delta \theta^z+\ldots $$
C’est maintenant l’opérateur moment angulaire qui va jouer le rôle de générateur de la transformation. Et dans notre cas, on utilise le fait que $\hat{J}^z=-\mathrm{i} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} \theta^z}$ :
$$ \psi\left(\theta-\delta \theta^z\right)=\left(1-\mathrm{i} \hat{J}^z \delta \theta^z\right) \psi\left(\theta^z\right) $$
Et finalement, en répétant $N\rightarrow\infty$ fois l’opération, l’opérateur s’écrit $\hat{U}(\theta^z)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \hat{J}^z \theta^z}$. Et en généralisant à une rotation quelconque :
$$ \hat{U}(\boldsymbol{\theta})=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \hat{\boldsymbol{J}} \cdot \boldsymbol{\theta}} $$
Représentation des transformations
Transformer un champ est un poil plus compliqué puisqu’il faut à la fois bouger le champ au nouvel endroit et transformer aussi l’objet que le champ produit. Or cet objet peut être de nature différente : scalaire, vectorielle ou spinorielle. Il faut donc pouvoir adapter une même transformation à ces différents objets et c’est la théorie des représentations qui permet cela.
Une représentation d’un groupe, notée $D$, est obtenue en associant chaque élément $g_i$ du groupe $G$ à un opérateur linéaire continu qui agit sur un espace vectoriel. Cette association doit préserver la règle de composition : si $g_1\bullet g_2=g_3$, alors $D(g_1)D(g_2)=D(g_3)$.
En pratique, il s’agit de représenter les éléments du groupe par des matrices.
Exemple des rotations :
Toute rotation $\boldsymbol{R}(\boldsymbol{\theta})$ peut être représentée par une matrice $D(\boldsymbol{\theta})$ qui prend une forme très similaire à l’opérateur :
$$ D(\boldsymbol{\theta})=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \boldsymbol{J} \cdot \boldsymbol{\theta}} $$
$\boldsymbol{J}$ est une matrice carrée et une représentation de l’opérateur $\hat{\boldsymbol{J}}$.
On peut isoler $J^i$ dans l’équation précédente :
$$ J^i=-\left.\frac{1}{\mathrm{i}} \frac{\partial D\left(\theta^i\right)}{\partial \theta^i}\right|_{\theta^i=0} $$
On note souvent les représentations des rotations d’un champ caractérisé par un nombre quantique de moment cinétique $j$, $D^{(j)}(\boldsymbol{\theta})$.
Considérons des rotations autour de l’axe des $z$.
- Une représentation triviale est $D(\theta^z)=1$, et donc $J^z=-\left.\frac{1}{\mathrm{i}} \frac{\partial D\left(\theta^z\right)}{\partial \theta^z}\right|_{\theta^z=0}=0$. Et par extension, $J^x=J^y=0$. C'est une représentation appropriée pour un champ scalaire puisqu'un scalaire ne peut avoir de moment cinétique. On a donc obtenu la représentation des rotations d'un champ scalaire : $D^{(0}(\boldsymbol{\theta})=1$.
- Pour un champ de spineurs (décrivant des particules de spin $\frac{1}{2}$), la représentation d'une rotation selon l'axe des $z$ peut s'écrire :
$$ D^{1/2}\left(\theta^z\right)=\left(\begin{array}{cc} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta^z / 2} & 0 \\ 0 & \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta^z / 2} \end{array}\right) $$
Et donc
$$ J^z=-\left.\frac{1}{\mathrm{i}} \frac{\partial D^{1/2}\left(\theta^z\right)}{\partial \theta^z}\right|_{\theta^z=0}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) $$
-
Pour un champ vectoriel, la représentation matricielle des rotations est plus familière. Pour une rotation selon l'axe $z$, on a :
$$ D^{(1)}(\theta^z)=\mathbf{R}\left(\theta^z\right)=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta^x & -\sin \theta^x & 0 \\ 0 & \sin \theta^x & \cos \theta^x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$
Ce qui donne :
$$ J^z=-\left.\frac{1}{\mathrm{i}} \frac{\partial \mathbf{R}\left(\theta^z\right)}{\partial \theta^z}\right|_{\theta^z=0}=\mathrm{i}\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$
La formule générale pour les éléments de matrice de $D^{(j)}(\boldsymbol{\theta})$ est donnée par :
$$ \begin{aligned} {\left[D^{(j)}(\boldsymbol{\theta})\right]_{m, m^{\prime}} } & =\left\langle j m^{\prime}\right| \hat{U}(\boldsymbol{\theta})|j m\rangle \\ & =\left\langle j m^{\prime}\right| \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \hat{\boldsymbol{J}} \cdot \boldsymbol{\theta}}|j m\rangle \end{aligned} $$
On peut ensuite les relations standards de l’opérateur moment cinétique :
$$ \begin{gathered} \hat{J}^z|j \, m\rangle=m|j \, m\rangle, \\ \hat{J}^{ \pm}|j \, m\rangle=\sqrt{(j \mp m)(j+1 \pm m)}|j \,m \pm 1\rangle, \\ \hat{J}^{ \pm}=\hat{J}^x \pm \mathrm{i} \hat{J}^y . \end{gathered} $$
Le point remarquable de toutes ces représentations est qu’elles partagent la même structure algébrique sous-jacente de l’opérateur rotation. Cette algèbre est appelé algèbre de Lie et peut apparaître dès qu’on a un groupe continu.
La continuité entraîne en effet qu’il existe des éléments du groupe arbitrairement proches de l’identité pour lesquels on peut écrire $g(\boldsymbol{\alpha})=1+\mathrm{i} \alpha^i T^i+O(\alpha^2)$ où les $T^i$ sont les générateurs du groupe. L’algèbre de Lie s’exprime alors par le commutateur $\left[T^i, T^j\right]=\mathrm{i} f^{i j k} T^k$ où les $f^{ijk}$ sont appelées constantes de structure.
Pour les rotations $T^i = J^i$ et $f^{ijk}=\varepsilon^{ijk}$.